《电磁学》课程教学资源（课堂拓展）奇异曲面的高斯通量计算探讨

奇异曲面高斯通量的讨论

奇异曲面高斯通量的讨论

1.非封闭曲面的通量计算一投影法平方反比场E=Ar/r3有一特殊性质，即对两面元dS，dS,,若对场源O张有相同立体角dQ,则dSi,dS,的通S酒S量相等。从而，任意曲面So'对O张Q的立体角，投影到以场源为球心的单位球面成为Sr，则

1.非封闭曲面的通量计算—投影法 平方反比场E=A r/r3 有 一特殊性质，即对两面元 dS1 , dS2 ,若对场源O张有相 同立体角dΩ,则dS1 ,dS2的通 量相等。 从而，任意曲面S0， 对O张Ω的立体角，投影到 以场源为球心的单位球面， 成为S1，则 O S1

Φso=Φsi=QA此即非封闭双侧曲面的通量计算式对静电场，A=q/4元s(q为场源电荷)，从而(g) s 0=2q / 4元

ΦS0 =ΦS1 =ΩA 此即非封闭双侧曲面的通量计算式。 对静电场，A=q/4πε(q为场源电荷), 从而 Φ(q) S 0=Ωq / 4πε

下面定义一种新的通量计算方法：力场E=Ar/r3场源为0，取S.上一点P，当射线OP穿过S.奇数次时，p的投影点p为有效区，记入S当OP射线穿过S.偶数次时，p'为无效点，不记入S,。由于通量只是一个数值，在单位球面上面积S,=Q球面上各处F大小都相等，则通量Q=S,A

下面定义一种新的通量计算方法： 力场E=A r/r3 场源为O， 取S0上一点P，当射线OP穿过S0奇数次时，p的投影点p’ 为有效区，记入S1 ;当OP射线穿过S0偶数次时，p’为无 效点，不记入S1。 由于通量只是一个数值，在单位球面上面积S1 =Ω, 球面上各处F大小都相等，则通量φy=S1A. O S1

2.非封闭单侧曲面(Mobius单侧面的高斯通量按法向量定义的通量dD=n·S，首先要求连续曲面上各点有唯一确定的连续法向量。而单侧曲面不满足此条件，如Mobius面。故不能由法向量定义其通量

2.非封闭单侧曲面（Mobius单侧面） 的高斯通量 按法向量定义的通量dФ=n•S，首先要求连 续曲面上各点有唯一确定的连续法向量。 而单侧曲面不满足此条件，如Mobius面。故不 能由法向量定义其通量

但用投影的方法，可将Mobius面唯一地映射在单位球面域S,上，通量Φ=AS,可以看出，投影法对单，双侧曲面都适用，故可作为通量的定义下面将证明，此定义对克莱因瓶也适用并可求出唯一的通量

但用投影的方法，可将Mobius面唯一地 映射在单位球面域S1上，通量Фy=AS1 . 可以看出，投影法对单，双侧曲面都适 用，故可作为通量的定义。 下面将证明，此定义对克莱因瓶也适用， 并可求出唯一的通量。 O S1

3.Klein瓶的高斯通量

3. Klein瓶的高斯通量

克莱因瓶为一单侧曲面，其上有一曲线L，L为三面交汇处现考虑其对平方反比场源O的通量

⚫ 克莱因瓶为一单侧曲面，其上有一 曲线L，L为三面交汇处。 ⚫ 现考虑其对平方反比场源O的通量

以L为边界，作一曲面M，将M平移一小段距离dx，变为M'，再反向平移dx，变为M"。让原三面分别只与M，M，M"之一相连，则得一新曲面，为一封闭曲面。其通量为0或4元A（由O位置决定）。MM/

以L为边界，作一曲面M，将M平移一小段 距离dx，变为M’ ，再反向平移dx，变为M"。 让原三面分别只与M，M`，M"之一相连，则 得一新曲面，为一封闭曲面。其通量为0或 4πA(由O位置决定)

福BB.L十逆向想象，如图。法向量向外。注意，通量一直连续变化

逆向想象，如图。法向量向外。 注意，通量一直连续变化