《电磁学》课程教学资源（课堂拓展）静电场高斯定律在空间对称引力场中的应用

静电场高斯定律在空间对称引力场中的应用2026/2/2

2026/2/2 1 静电场高斯定律在空间对称 引力场中的应用

摘要高斯定律是静电场的一条基本定律，其成立源于静电场的保守性.本文依据引力场同样具备的保守性，探讨高斯定律在非相对论引力场中的类比应用，以简化具空间对称性的引力场的相关计算2026/2/2

2026/2/2 2 摘要 高斯定律是静电场的一条基本定律，其 成立源于静电场的保守性.本文依据引力 场同样具备的保守性，探讨高斯定律在 非相对论引力场中的类比应用，以简化 具空间对称性的引力场的相关计算

引言在静电场中有我们熟知的高斯定律[1]成立：0.=ffE.dS=-Zqont利用此定律可方便解出空间对称状况下的E，或反过来由E求出相应的9或Po·仔细研究可知代表电场强度的E的有源性—一或保守性一一正是高斯定律成立的理由：电场线由g发出（或终止），因而p.与电场线通量密度，即电场强度E的散度之间存在明显的对应关系：事实上，若用电位移通量D代替E，则此一关系更可简单表示为[2]：V·D=Po上市即有介质情况下的高斯定律微分形式.运用数学上的高斯定律，此式可还原为积分形式：.=.ds- Jf,(V.D)dv= J,podv-qom这表明，根据静电场在数学上的保守性和对E的定义即可导出高斯定律，2026/2/2

2026/2/2 3 引 言 在静电场中有我们熟知的高斯定律[1]成立： 利用此定律可方便解出空间对称状况下的E，或反过来由E求出相应的q0或 r0．仔细研究可知代表电场强度的E的有源性——或保守性——正是高斯定 律成立的理由；电场线由q0发出（或终止），因而r0与电场线通量密度，即 电场强度E的散度之间存在明显的对应关系．事实上，若用电位移通量D代 替E，则此一关系更可简单表示为[2]： 上市即有介质情况下的高斯定律微分形式.运用数学上的高斯定律，此式可 还原为积分形式： 这表明，根据静电场在数学上的保守性和对E的定义即可导出高斯定律 . =   =  0int 0 1 d q s e   E S =   =   =  0 = 0int d ( )dV dV q S V V e D S D r 0  D = ρ

引力场情况：设有一只薄球壳，半径为a，质量为m，现求距球心R处的一个质量为m的质点所受的力Cs由势能求保守力[3]，得：0R≥a:VdedUGmmF=OPRR2dRR<a:F=0以上为牛顿力学的处理方法2026/2/2

2026/2/2 4 引力场情况： 设有一只薄球壳，半径为a，质量为m，现求距球心R处的一个 质量为m的质点所受的力. a dq O q R P r y 由势能求保守力[3]，得： 以上为牛顿力学的处理方法. 0 : ' : 2 =  = − = −  F R a R mm G dR dU F R a

将高斯定律应用于引力场：定义引力场强度E为单位质元m在引力场中某点所受之引力：FEm（下标g表示gravitation，引力）E的方向为引力方向.将这些方向以假想线表示，并以疏密度表示E。的大小，即为引力线.引力线指向被研究的物体在球壳问题中，引力线终止于球壳表面2026/2/2

2026/2/2 5 将高斯定律应用于引力场： 定义引力场强度Eg为单位质元m在引力场中某点所受之引力： (下标g表示gravitation，引力) Eg的方向为引力方向.将这些方向以假想线表示，并以疏密度表示Eg的大小， 即为引力线.引力线指向被研究的物体. 在球壳问题中，引力线终止于球壳表面. a F E = = m g g

对球壳问题应用高斯定律：（k为比例常数）FEgS=kmR>a:-E..4元R2=kmEkmGmmm'Eg福4元R2R2R'm'm'k=4元GEg.dS=4元GEmR<a:-E.·4元R?=4元G.0E.=0（与牛顿力学计算一致）2026/2/2

2026/2/2 6 对球壳问题应用高斯定律： （k为比例常数） （与牛顿力学计算一致） 0 4 4 0 4 4 4 4 2 2 2 2 2 = −  =    = = = − = = − = − −  =   =     g g g g g g g E E R G R a G m k G R Gm R m mm G m F R k m E E R k m R a k m       : E dS ' ' ' : E dS

一个均匀球状分布的星系[4]，总质量为M，半径为R：距星系中心为r处有一质量为M的星体.求M，所受的引力#Eg·dS = 4元GZm-E。-4元2 =4元GMR3GMrF.=mEE/8gRGMM,rFgR与牛顿力学[5]的计算结果相同2026/2/2

2026/2/2 7 一个均匀球状分布的星系[4]，总质量为M，半径为R0．距星系中心为r处有一质 量为M1的星体.求M1所受的引力. 与牛顿力学[5]的计算结果相同. 3 0 1 3 0 3 0 3 2 4 4 4 R GMM r F F mE R GMr E R r E r GM G m g g g g g g = − = − = −  =  =   , E dS   

设有一无限大平板，厚为D，求到其中心平面距离为y的某质点（质量为m）所受的力O按力学解法，需用极坐标进行面积分，求出势能再由势能求导计算保守力结果为[6]：D-2元GpD,f,=-2πGpDm-2D-m'f, =-4元GpymL22026/2/2

2026/2/2 8 设有一无限大平板，厚为D， 求到其中心平面距离为y的某质点（质量为m’）所受的力. 按力学解法，需用极坐标进行面积分，求出势能， 再由势能求导计算保守力.结果为[6]： : ' , ' ' : f G ym D y G D f G Dm m f a D y y y y y  r  r  r 4 2 2 2 2  = −  = = − = − y O D

以高斯定律解：FEg·dS=4元Gm-2E。-△AS= 4元G pASDEg=-2元GpD=a,F=mE。=-2元GpDmVL-2Eg-AS= 4元G.p.AS.2yEg=-2元Gp.2y=-4元GpyDF =-4元Gpym'与力学计算结果相同，2026/2/2

2026/2/2 9 以高斯定律解： 与力学计算结果相同. ' : ' ' E dS : F G ym E G y G y E S G S y D y F m E G Dm E G D a E S G SD G m D y g g g g y g g  r  r  r  r  r  r  r  4 2 2 4 2 4 2 2 2 2 2 4 4 2 = − = −  = − −  =     = = − = − = −  =    =    y y D

结论以上计算及分析结果说明，用高斯定律计算空间对称引力场的问题，是简便而可靠的.我们并由理论导出比例常数k-4元G.如果在若干年后引力与电磁力能得到统一，则4元G这个常数将有可能以特定的地位出现在其过程中.而在目前尚未统一的状况下，使用高斯定律也可以省去很多繁杂的计算2026/2/210

2026/2/2 10 结 论 以上计算及分析结果说明，用高斯定律计算 空间对称引力场的问题，是简便而可靠的.我 们并由理论导出比例常数k=4G.如果在若干 年后引力与电磁力能得到统一，则4G这个常 数将有可能以特定的地位出现在其过程中.而 在目前尚未统一的状况下，使用高斯定律也 可以省去很多繁杂的计算