成都理工大学：《大学物理》课程教学资源（PPT课件）第十四章 机械振动（14.5）简谐运动的能量（2/2）

两个同方向同频率简谐运动的合成 x,=A, cos(at+u) A x2=A, cos(at +2) X=X+r 2 lx= Acos(at+p IXX A=√42+42+2A1412cos(2-91) 4sing+A2sing2两个同方向同频 tanq=Acos+A2cos2后仍为简谐运动 率简诸运动合成

1 A1  1 x x 0 一 两个同方向同频率简谐运动的合成 1 2 x = x + x 1 1 2 2 1 1 2 2 cos cos sin sin tan      A A A A + + = 2 cos( ) 1 2 2 1 2 2 2 A = A1 + A + A A  − x = Acos(t +) cos( ) 1 = 1  +1 x A t cos( ) 2 = 2  +2 x A t   A  x2 x A2   2 两个同方向同频 率简谐运动合成 后仍为简谐运动

讨论A=√42+42+2412cos(2-9) 1)相位差△q=q2-q1=2k兀(k=0,±1,±2…) O x=(A+A)cos(at +o 9=92=q1+2k汇

x x t o o  =2 =1 + 2kπ ( )cos( ) x = A1 + A2 t + A A = A1 + A2  A1 A2 T 1）相位差  =2 −1 = 2kπ (k = 0，1， 2, ) 2 cos( ) 1 2 2 1 2 2 2 讨论 A = A1 + A + A A  −

+42+2A1A2coS(2-q1 2)相位差△q=q2-1=(2k+1)兀(k=0,±1, X=A cos at x=(A2-A)cos(at +1) =A, coS(at +It) X A=4-A p= p2 O

x x t o o A = A1 − A2  =  2 ( )cos( π) x = A2 − A1 t +  2 cos( ) 1 2 2 1 2 2 2 A = A1 + A + A A  − T A2  2 A1 A 2）相位差  =2 −1 = (2k +1)π (k = 0，1, ) x A cost 1 = 1 cos( π ) x2 = A2 t +

1)相位差q2-q1=2兀(=0,±1,…) A=A+A2相互加强 2)相位差2-9=(2k+1)(k=0,±1, A=A1-A2相互削弱 3)一般情况 A+A2>A>4

3 ）一般情况 A1 + A 2  A  A1 − A 2 A = A 1 − A 2 2 ）相位差 1 ）相位差 A = A1 + A 2 2 − 1 = 2 k π ( k = 0 ，  1 ，  ) 相互加强 相互削弱 2 − 1 = ( 2 k + 1 ) π ( k = 0 ，  1 ，  )

多个同方向同频率简谐运动的合成 x,= A cos(at+u x2=A2 cos(at+2) ●●鲁● n=An cos(at+n) x=1+x2+…… 9 Ax=Acos(am+9)0互 X 多个同方向同频率简谐运动合成仍为简谐运动

1 A1  x o 二 多个同方向同频率简谐运动的合成 A2   2 A3  3  x = Acos(t +) n x = x + x ++ x 1 2  cos( ) 1 = 1  +1 x A t cos( ) 2 = 2  +2 x A t cos( ) n n n x = A t + A   多个同方向同频率简谐运动合成仍为简谐运动

cos ot A x2=A0cos(o+△q) x3=A6coS(ot+2△q) A,, A3 A4 Ax Xn=A cos[+(N-14o7/4=5A,=NAo 订/1)△=2k兀 A△ 论 (k=0,±1,±2,……) 2)N△q=2k (k≠AN,=士12…)NM 馋、N个矢量依次相接构 个闭合的多边形. A=0

A1  A2  A3  A4  o x A5        A A NA0 i =  i = A   x A cost 1 = 0 cos( ) x2 = A0 t +  cos[ ( 1) ] xN = A0 t + N −  cos( 2 ) x3 = A0 t +  A1  A2  A3  A4  x O A5  A6  A = 0 (k' kN,k' = 1,2, ) 2） N = 2k'π 1）  = 2kπ (k = 0,1,2, ) 个矢量依次相接构 成一个闭合的多边形 . N 讨 论

三两个同方向不同频率简谐运动的合成 AA∪AA∪ WA x=x +x 频率较大而频率之差很小的两个同方向简谐运动的 合成,其合振动的振幅时而加强时而减弱的现象叫拍

三 两个同方向不同频率简谐运动的合成 频率较大而频率之差很小的两个同方向简谐运动的 合成，其合振动的振幅时而加强时而减弱的现象叫拍

∫x1= A,cos@,t=Acos2t x=x+x Ix-A cos o,t=A cos 2I vt 讨论A1=A2,v2-Ⅵ<v+v2的情况 ◆方法 x=x1+x2=A1Cos2兀vt+A2cOs2πv2t x=(2A cos 2I=21t) t)COS 2T 2+v 2 2 振幅部分 合振动频率

振幅部分 合振动频率 x x x A t A t 1 2 1 1 2 2π 2 = + = cos2π + cos  讨论 A1 = A2  2 − 1  1 + 2 , 的情况 x A t t 2 ) cos 2π 2 (2 cos 2π 2 1 2 1 1  −  + = x A t A t 1 1 1 1 2π 1 = cos = cos  x A t A t 2 2 2 2 2π 2 = cos = cos  1 2 x = x + x 方法一

x=(2A1cos2x当2=Y Vo + v t)cos2π 2 2 振幅部分 合振动频率 振动频率v=(v1+v2)2 Ax=2A 振幅=2A1cos2兀 A=0 2兀 T=兀 2 拍频(振幅变化的频率)

π 2 2π 2 1 = − T   2 1 1  − T = A A t 2 2 cos 2π 2 1 1  − =  = 2 − 1  = ( 1 + 2 ) 2 A max = 2A1 Amin = 0 振幅部分 合振动频率 x A t t 2 ) cos 2π 2 (2 cos 2π 2 1 2 1 1  −  + = 振幅 振动频率 拍频（振幅变化的频率）

◆方法二:旋转矢量合成法 )+(2-9) A t+9 ⑦>O, 1t+ XX X 2 X X A=√A2+A2+2AA2cos△q q1=92=0 =(O2-O1)t+(02-91)△p=2π(v2-1)t

x o = + + 2 1 2 cos 2 2 2 A A1 A A A ( ) ( )  = 2 −1 + 2 −1 t A2  2 x 2 x  A  A1  1 x 1 1 +1 t ( ) ( ) 2 −1 +  2 −1 t 2 +2 t 方法二：旋转矢量合成法 2 1 1 = 2 = 0 2π ( )t  =  2 −1