北京大学：《高等代数》课程（第三版）教学资源（讲义）第八章 λ－矩阵（8.1）λ－矩阵

第八章λ-矩阵 §1-矩阵 设P是数域,λ是一个文字,作多项式环P],一个矩阵如果它的元素是A 的多项式,即P[]的元素,就称为λ-矩阵在这一章讨论λ-矩阵的一些性质, 并用这些性质来证明上一章第八节中关于若当标准形的主要定理. 因为数域P中的数也是P[]的元素,所以在λ-矩阵中也包括以数为元素的 矩阵.为了与-矩阵相区别,把以数域P中的数为元素的矩阵称为数字矩阵.以 下用A(A),B(4)…等表示λ-矩阵 我们知道,P[]中的元素可以作加、减、乘三种运算,并且它们与数的运 算有相同的运算规律.而矩阵加法与乘法的定义只是用到其中元素的加法与乘 法,因此可以同样定义λ-矩阵的加法与乘法,它们与数字矩阵的运算有相同的 运算规律 行列式的定义也只用到其中元素的加法与乘法,因此,同样可以定义一个 n×n的一矩阵的行列式.一般地,-矩阵的行列式是A的一个多项式,它与数 字矩阵的行列式有相同的性质 定义1如果λ-矩阵A(4)中有一个r(r≥1)级子式不为零,而所有r+1级子 式(如果有的话)全为零,则称A(λ)的秩为r.零矩阵的秩规定为零 定义2一个n×n的A-矩阵A(4)称为可逆的,如果有一个n×n的λ-矩阵 B(4)使 A()B(A)=B(A)A(4)=E (1) 这里E是n级单位矩阵.适合(1)的矩阵B(4)(它是唯一的)称为A(4)的逆矩阵, 记为A-(4) 定理1一个nxn的λ-矩阵A(4)是可逆的充要条件为行列式|A()是一个非零 的数

第八章  −矩阵 §1  −矩阵 设 P 是数域，  是一个文字，作多项式环 P[] ，一个矩阵如果它的元素是  的多项式，即 P[] 的元素，就称为  −矩阵.在这一章讨论  −矩阵的一些性质， 并用这些性质来证明上一章第八节中关于若当标准形的主要定理. 因为数域 P 中的数也是 P[] 的元素，所以在  −矩阵中也包括以数为元素的 矩阵.为了与  −矩阵相区别，把以数域 P 中的数为元素的矩阵称为数字矩阵.以 下用 A(), B(), 等表示  −矩阵. 我们知道， P[] 中的元素可以作加、减、乘三种运算，并且它们与数的运 算有相同的运算规律.而矩阵加法与乘法的定义只是用到其中元素的加法与乘 法，因此可以同样定义  −矩阵的加法与乘法，它们与数字矩阵的运算有相同的 运算规律. 行列式的定义也只用到其中元素的加法与乘法，因此，同样可以定义一个 nn 的  −矩阵的行列式.一般地，  −矩阵的行列式是  的一个多项式，它与数 字矩阵的行列式有相同的性质. 定义 1 如果  −矩阵 A() 中有一个 r(r  1) 级子式不为零，而所有 r +1 级子 式（如果有的话）全为零，则称 A() 的秩为 r .零矩阵的秩规定为零. 定义 2 一个 nn 的  −矩阵 A() 称为可逆的，如果有一个 nn 的  −矩阵 B() 使 A()B() = B()A() = E , (1) 这里 E 是 n 级单位矩阵.适合(1)的矩阵 B() (它是唯一的)称为 A() 的逆矩阵， 记为 ( ) 1  − A .. 定理 1 一个 nn 的  −矩阵 A() 是可逆的充要条件为行列式 | A() | 是一个非零 的数