北京大学：《高等代数》课程（第三版）教学资源（讲义）第六章 线性空间（6.6）子空间的交与和

§6子空间的交与和 定理5如果V,V2是线性空间V的两个子空间,那么它们的交V∩V2也是 的子空间. 由集合的交的定义有,子空间的交适合下列运算规律 V∩v2=V2∩v(交换律) (∩v2)∩v3=V∩(2∩v3)(结合律) 由结合律,可以定义多个子空间的交 nn2n…nv=U 它也是子空间. 定义8设V1,V2是线性空间V的子空间,所谓V与V2的和,是指由所有能 表示成a1+a2,而a1∈V1,a2∈V2的向量组成的子集合,记作V+V2 定理6如果V1,V2是线性空间V的子空间,那么它们的和V+V2也是V的子 空间 由定义有,子空间的和适合下列运算规律: V+V2=V2+V(交换律), (V1+V2)+V3=V+(2+V3)(结合律) 由结合律,可以定义多个子空间的和 V+2+…+V 它是由所有表示成 a1+a2+…+a,a1∈V(=1,2,…,s) 的向量组成的子空间. 关于子空间的交与和有以下结论 1.设VV2W都是子空间,那么由WcV与WcV2可推出WcV∩V2;而 由W与WV2可推出W=V+V2

§6 子空间的交与和 定理 5 如果 V1 ,V2 是线性空间 V 的两个子空间，那么它们的交 V1 V2 也是 V 的子空间. 由集合的交的定义有，子空间的交适合下列运算规律： V1 V2 =V2 V1 (交换律)， ( ) ( ) V1 V2 V3 =V1  V2 V3 （结合律）. 由结合律，可以定义多个子空间的交：    s i V V Vs Vi 1 1 2 = = , 它也是子空间. 定义 8 设 V1 ,V2 是线性空间 V 的子空间，所谓 V1 与 V2 的和，是指由所有能 表示成 1 + 2 ,而 1 1 2 2  V , V 的向量组成的子集合，记作 V1 +V2 . 定理 6 如果 V1 ,V2 是线性空间 V 的子空间，那么它们的和 V1 +V2 也是 V 的子 空间. 由定义有，子空间的和适合下列运算规律： V1 +V2 =V2 +V1 (交换律)， ( ) ( ) V1 +V2 +V3 =V1 + V2 +V3 （结合律）. 由结合律，可以定义多个子空间的和 = + + + = s i V V Vs Vi 1 1 2  . 它是由所有表示成 , ( 1, 2 , , ) 1 2 V i s  + ++ s i  i =  的向量组成的子空间. 关于子空间的交与和有以下结论： 1. 设 V1 ,V2 ,W 都是子空间，那么由 W V1 与 W V2 可推出 W V1 V2 ；而 由 W  V1 与 W V2 可推出 W V1 +V2

2.对于子空间v与V2,以下三个论断是等价的 1)V,cV 2)V∩V2=V 3)+V2=V2 例1在三维几何中用表示一条通过原点的直线,V2表示一张通过原点而 且与V垂直的平面,那么,V与V2的交是0},而V与V2的和是整个空间 例2在线性空间P中,用V与V2分别表示齐次方程组 a1x1+a12x2+…+a1nxn=0, x1+a2x2+…+a2nxn=0, bux,+bux, 6. x=0 b21x1+b2x2 b,x,+b,X,+…+b 0 的解空间,那么∩v2就是齐次方程组 a1x1+a12x2+…+anxn=0, asxtas2x2 0 bux,+b, 6,x=0 b,x,+b,x2 b.x.=0 的解空间 例3在一个线性空间V中,有 L(a1,a2,…a,)+L(B1,B2…,B1)=L(a1…,a,B1,…,B,) 关于两个子空间的交与和的维数,有以下定理 定理7(维数公式)如果V,V2是线性空间V的两个子空间,那么

2. 对于子空间 V1 与 V2 ，以下三个论断是等价的： 1） ; V1 V2 2) V1 V2 =V1 ; 3) V1 +V2 =V2 . 例 1 在三维几何中用 V1 表示一条通过原点的直线， V2 表示一张通过原点而 且与 V1 垂直的平面，那么， V1 与 V2 的交是 0 ，而 V1 与 V2 的和是整个空间. 例 2 在线性空间 n P 中，用 V1 与 V2 分别表示齐次方程组        + + + = + + + = + + + = 0 0, 0 , 1 1 2 2 21 1 22 2 2 11 1 12 2 1 s s sn n n n n n a x a x a x a x a x a x a x a x a x     与        + + + = + + + = + + + = 0 0, 0 , 1 1 2 2 21 1 22 2 2 11 1 12 2 1 t t tn n n n n n b x b x b x b x b x b x b x b x b x     的解空间，那么 V1 V2 就是齐次方程组            + + + = + + + = + + + = + + + = 0 0, 0 , 0 , 1 1 2 2 11 1 12 2 1 1 1 2 2 11 1 12 2 1 t t tn n n n s s sn n n n b x b x b x b x b x b x a x a x a x a x a x a x       的解空间. 例 3 在一个线性空间 V 中，有 ( , , , ) ( , , , ) ( , , , , , ) L 1  2   s + L 1  2   t = L 1   s 1   t . 关于两个子空间的交与和的维数，有以下定理. 定理 7（维数公式）如果 V1 ，V2 是线性空间 V 的两个子空间，那么

维()+维(V2)=维(1+V2)+维(n∩2) 从维数公式可以看到,和的维数往往要比维数的和来得小 推论如果n维线性空间V中两个子空间V,V2的维数之和大于n,那么V,V2 必含有非零的公共向量

维（ V1 ）+维（ V2 ）=维（ V1 +V2 ）+维（ V1 V2 ）. 从维数公式可以看到，和的维数往往要比维数的和来得小. 推论 如果 n 维线性空间 V 中两个子空间 V1 ，V2 的维数之和大于 n ，那么 V1 ，V2 必含有非零的公共向量