北京大学：《高等代数》课程（第三版）教学资源（讲义）第四章 矩阵（4.5）矩阵的分块

§5矩阵的分块 在这一节,我们来介绍一个处理级数较高的矩阵时常用的方法,即矩阵的分 块有时候,我们把一个大矩阵看成是由一些小矩阵组成的,就如矩阵是由数组 成的一样特别在运算中,把这些小矩阵当作数一样来处理这就是所谓矩阵的分 为了说明这个方法,下面看一个例子在矩阵 0100(E2O 210(AE2 01 中,E2表示级单位矩阵,而 A O 11 在矩阵 020 0 B 2110 BB2 中 B B12 01 在计算AB时,把AB都看成是由这些小矩阵组成的,即按2级矩阵来运算于是 E2OYBu B12 Bu B12 AB= A, E2/B2B2)(ABn+B21 A,,2+B 其中 AB1+B2=1 C12(1-2 1232)(41 A, B 因之

§5 矩阵的分块 在这一节，我们来介绍一个处理级数较高的矩阵时常用的方法，即矩阵的分 块.有时候，我们把一个大矩阵看成是由一些小矩阵组成的，就如矩阵是由数组 成的一样.特别在运算中，把这些小矩阵当作数一样来处理.这就是所谓矩阵的分 块. 为了说明这个方法，下面看一个例子.在矩阵         =               − = 1 2 2 1 1 0 1 1 2 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 A E E O A 中， E2 表示级单位矩阵，而         =        − = 0 0 0 0 , 1 1 1 2 A1 O . 在矩阵         =               − − − = 21 22 11 12 1 1 2 0 1 0 4 1 1 2 0 1 1 0 3 2 B B B B B 中，         =         − − =         =         − = 2 0 4 1 , 1 1 1 0 , 0 1 3 2 , 1 2 1 0 B11 B12 B21 B22 . 在计算 AB 时，把 A, B 都看成是由这些小矩阵组成的，即按 2 级矩阵来运算.于是         + + =                = 1 11 21 1 12 22 11 12 21 22 11 12 1 2 2 A B B A B B B B B B B B A E E O AB , 其中         − − =        − − +        −        − + = 1 1 2 4 1 1 1 0 1 2 1 0 1 1 1 2 A1B11 B21 ,         =        +               − + = 5 3 1 1 2 0 4 1 0 1 3 2 1 1 1 2 A1B12 B22 . 因之

-1201 AB= 2411 不难验证,直接按4级矩阵乘积的定义来作,结果是一样的 一般,设A=(an)m,B=(2),把AB分成一些小矩阵 nI S,(A1 A s2A21A2…A2 AA A,u n1 n1(B1B12 B1 B、,B B, B n,Bn B 其中每个A是s,xn,小矩阵,每个B是nxm,小矩阵,于是有 C=AB S 其中 C=AnB4+An2B2+…+AB4=∑AmB(p=1,2,…tq=12,…,r).(4) 这个结果是由矩阵乘积的定义直接验证即得 应该注意,在分块(1)(2)中矩阵的列的分法必须与矩阵的行的分法一致 以下会看到,分块乘法有许多方便之处常常在分块之后,矩阵间相互的关 系看得更清楚 实际上,在证明关于矩阵乘积的秩的定理时,已经用了矩阵分块的想法在 那里,用B1,B2,…,Bn表示B的行向量,于是

              − − − = 1 1 5 3 2 4 1 1 1 2 0 1 1 0 3 2 AB . 不难验证，直接按 4 级矩阵乘积的定义来作，结果是一样的. 一般，设 ( ) ( ) ik sn kj nm A = a , B = b ，把 A, B 分成一些小矩阵               = t t tl l l t l A A A A A A A A A s s s A n n n         1 2 21 22 2 11 12 1 2 1 1 2 , (1)               = l l lr r r l r B B B B B B B B B n n n B m m m         1 2 21 22 2 11 12 1 2 1 1 2 , (2) 其中每个 Aij 是 i n j s  小矩阵，每个 Bij 是 ni  mj 小矩阵，于是有               = = t t tr r r t r C C C C C C C C C s s s C AB m m m         1 2 21 22 2 11 12 1 2 1 1 2 , (3) 其中 ( 1,2, , ; 1,2, , ) 1 1 1 2 2 C A B A B A B A B p t q r l k p q = p q + p q ++ p l l q =  p k kq =  =  = . (4) 这个结果是由矩阵乘积的定义直接验证即得. 应该注意，在分块(1),(2)中矩阵的列的分法必须与矩阵的行的分法一致. 以下会看到，分块乘法有许多方便之处.常常在分块之后，矩阵间相互的关 系看得更清楚. 实际上，在证明关于矩阵乘积的秩的定理时，已经用了矩阵分块的想法.在 那里，用 B B Bm , , , 1 2  表示 B 的行向量，于是

B B B 这就是B的一种分块按分块相乘,就有 a1B1+a12B2 AB=28+a2+…+a2nBn B,+ B2 用这个式子很容易看出AB的行向量是B的行向量的线性组合;将AB进行另 种分块乘法,从结果中可以看出AB的列向量是A的列向量的线性组合 作为一个例子,我们来求矩阵 b b b b 的逆矩阵,其中A,B分别是k级和r级的可逆矩阵,C是r×k矩阵,O是kxr零 矩阵 首先,因为 DHA‖B|, 所以当A,B可逆时,D也可逆设 XI X 21 于是 OYX Nero CB人X21X E, 这里E,E分别表示k级和r级单位矩阵乘出来并比较等式两边,得

              = Bm B B B  2 1 , 这就是 B 的一种分块.按分块相乘，就有               + + + + + + + + + = n n nm m m m m m a B a B a B a B a B a B a B a B a B AB     1 1 2 2 21 1 22 2 2 11 1 12 2 1 . 用这个式子很容易看出 AB 的行向量是 B 的行向量的线性组合；将 AB 进行另一 种分块乘法，从结果中可以看出 AB 的列向量是 A 的列向量的线性组合. 作为一个例子，我们来求矩阵         =                     = C B A O c c b b c c b b a a a a D r r k r r r k r k kk k                 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 的逆矩阵，其中 A, B 分别是 k 级和 r 级的可逆矩阵， C 是 r  k 矩阵， O 是 k  r 零 矩阵. 首先，因为 | D |=| A || B |, 所以当 A, B 可逆时， D 也可逆.设         = − 21 22 1 11 12 X X X X D , 于是         =                r k O E E O X X X X C B A O 21 22 11 12 , 这里 Ek Er , 分别表示 k 级和 r 级单位矩阵.乘出来并比较等式两边，得

AXN= EK AX=O CXI+ BX2=O CXI+ BX2=E 由第一、二式得 x1=A-,X12=AO=O, 代入第四式,得 B 代入第三式,得 BX=-CX=-CA-.X 2=-B-C4-1 因此 B-CA- B 特别地,当C=O时,有 B)-{6 形式为 00 的矩阵,其中a是数(=1,2…,),通常称为对角矩阵,而形式为 A A2 Ar 的矩阵,其中A是n1n矩阵(=1,2…,D,通常称为准对角矩阵当然,准对角 矩阵包括对角矩阵作为特殊情形 对于两个有相同分块的准对角矩阵

       + = + = = = . , , , 12 22 11 21 12 11 r k CX BX E CX BX O AX O AX E 由第一、二式得 X = A X = A O = O − −1 12 1 11 , , 代入第四式，得 1 22 − X = B , 代入第三式，得 1 1 21 1 21 11 , − − − BX = −CX = −CA X = −B CA . 因此         − = − − − − − 1 1 1 1 1 B CA B A O D . 特别地，当 C = O 时，有         =         − − − 1 1 1 O B A O O B A O . 形式为               al a a       0 0 0 0 0 0 2 1 的矩阵，其中 i a 是数 (i = 1,2,  ,l) ，通常称为对角矩阵，而形式为               O Al A A O  2 1 的矩阵，其中 Ai 是 ni  ni 矩阵 (i = 1,2,  ,l) ，通常称为准对角矩阵.当然，准对角 矩阵包括对角矩阵作为特殊情形. 对于两个有相同分块的准对角矩阵

A1 B A= B B A 如果它们相应的分块是同级的,那么显然有 A, B O AB AB= AB A1+B1 A+B= A2+B2 A1+B1 它们还是准对角矩阵 其次,如果A,A2…,A都是可逆矩阵,那么 A 1

              = O Al A A O A  2 1 ,               = O Bl B B O B  2 1 , 如果它们相应的分块是同级的，那么显然有               = O AlBl A B A B O AB  2 2 1 1               + + + + = O Al Bl A B A B O A B  2 2 1 1 它们还是准对角矩阵. 其次，如果 A A Al , , , 1 2  都是可逆矩阵，那么               =               − − − − 1 1 2 1 1 1 2 1 l l O A A A O O A A A O  