北京大学：《高等代数》课程（第三版）教学资源（讲义）第六章 线性空间（6.3）维数·基与坐标

§3维数·基与坐标 、向量的线性相关与线性无关 定义2设V是数域P上的一个线性空间,a1,a2…a,(r≥1是V一组向 量,k1,k2,…k是数域P中的数,那么向量 a=ka1+k2a2+…+k,a 称为向量组a1,a2,…a的一个线性组合,有时也说向量a可以用向量组 a,a2…,a,线性表出 定义3设 x1,C2,…Cr B1,B2…B 是V中两个向量组,如果(1)中每个向量都可以用向量组(2)线性表出,那么 称向量(1)可以用向量组(2)线性表出.如果(1)与(2)可以互相线性表出, 那么向量组(1)与(2)称为等价的. 定义4线性空间V中向量∝1,α2,…a,(r≥1)称为线性相关,如果在数域P 中有r个不全为零的数k,k2…k,使 k1a1+k2a2+…+k,an=0 如果向量a1,a2,…a,不线性相关,就称为线性无关换句话说,向量组 a2,a2…a称为线性无关,如果等式(3)只有在k1=k2=…k=0时才成立 几个常用的结论 1.单个向量a线性相关的充要条件是a=0.两个以上的向量a1,a2…an 线性相关的充要条件是其中有一个向量是其余向量的线性组合 2.如果向量组a1,a2…线性无关,而且可以被B,B2,…B,线性表出, 那么r≤s 由此推出,两个等价的线性无关的向量组,必含有相同个数的向量

§3 维数·基与坐标 一、向量的线性相关与线性无关 定义 2 设 V 是数域 P 上的一个线性空间，    r ,. , , 1 2  (r  1) 是 V 一组向 量, r k ,k , ,k 1 2  是数域 P 中的数，那么向量 r r  = k11 + k2 .2 ++ k  称为向量组    r ,. , , 1 2  的一个线性组合，有时也说向量  可以用向量组    r ,. , , 1 2  线性表出. 定义 3 设    r ,. , , 1 2  ; (1)    s , , . 1 2  (2) 是 V 中两个向量组，如果（1）中每个向量都可以用向量组（2）线性表出，那么 称向量（1）可以用向量组（2）线性表出.如果（1）与（2）可以互相线性表出， 那么向量组（1）与（2）称为等价的. 定义 4 线性空间 V 中向量    r ,. , , 1 2  (r  1) 称为线性相关，如果在数域 P 中有 r 个不全为零的数 r k ,k , ,k 1 2  ，使 k11 + k2 .2 ++ krr = 0 . (3) 如果向量    r ,. , , 1 2  不线性相关 ，就称为线性无关. 换句话说，向量组    r ,. , , 1 2  称为线性无关，如果等式（3）只有在 k1 = k2 =kr = 0 时才成立. 几个常用的结论： 1. 单个向量  线性相关的充要条件是  = 0 .两个以上的向量    r ,. , , 1 2  线性相关的充要条件是其中有一个向量是其余向量的线性组合. 2. 如果向量组    r ,. , , 1 2  线性无关，而且可以被    s , , . 1 2  线性表出， 那么 r  s . 由此推出，两个等价的线性无关的向量组，必含有相同个数的向量

3.如果向量组a,a2…,a线性无关,但a1,a2,…,a,B线性相关,那么B 可以由被a1,a2…,a,线性表出,而且表示法是唯一的 在一个线性空间中究竟最多能有几个线性无关的向量,显然是线性空间的 个重要属性 定义5如果在线性空间V中有n个线性无关的向量,但是没有更多数目的线性无 关的向量,那么V就称为n维的:如果在V中可以找到任意多个线性无关的向量, 那么V就称为无限维的 定义6在n维线性空间V中,n个线性无关的向量c1E2…,En称为V的一组 基.设a是V中任一向量,于是E1,E2…En,a线性相关,因此a可以被基 E1,E1,…,En线性表出: a=a11+a2E2+……+anE 其中系数a1,a2…an是被向量α和基s1,E2…,En唯一确定的,这组数就称为a在 基E1,E2…,En下的坐标,记为(a1a2…an) 由以上定义看来,在给出空间V的一组基之前,必须先确定V的维数 定理1如果在线性空间V中有n个线性无关的向量a1a2,…an,且V中任 向量都可以用它们线性表出,那么V是n维的,而a1,a2…an就是V的一组 基 例1在线性空间Pxn中, Lx 是n个线性无关的向量,而且每一个次数小于n的数域P上的多项式都可以被它 们线性表出,所以Px]n是n维的,而1,x,x2,…,x2就是它的一组基 例2在n维的空间P中,显然

3. 如果向量组    r ,. , , 1 2  线性无关，但 1 ,.2 ,  , r , 线性相关，那么  可以由被    r ,. , , 1 2  线性表出，而且表示法是唯一的. 在一个线性空间中究竟最多能有几个线性无关的向量，显然是线性空间的一 个重要属性. 定义 5 如果在线性空间 V 中有 n 个线性无关的向量，但是没有更多数目的线性无 关的向量，那么 V 就称为 n 维的；如果在 V 中可以找到任意多个线性无关的向量， 那么 V 就称为无限维的. 定义 6 在 n 维线性空间 V 中， n 个线性无关的向量 n  , , , 1 2  称为 V 的一组 基.设  是 V 中任一向量，于是  1 , 2 ,  , n , 线性相关，因此  可以被基 n  , , , 1 2  线性表出： a a an n  =  +  ++  1 1 2 2 . 其中系数 a a an , , , 1 2  是被向量  和基 n  , , , 1 2  唯一确定的，这组数就称为  在 基 n  , , , 1 2  下的坐标，记为 ( , , , ) a1 a2  an . 由以上定义看来，在给出空间 V 的一组基之前，必须先确定 V 的维数. 定理 1 如果在线性空间 V 中有 n 个线性无关的向量    n ,. , , 1 2  ，且 V 中任 一向量都可以用它们线性表出，那么 V 是 n 维的，而    n ,. , , 1 2  就是 V 的一组 基. 例 1 在线性空间 n P[x] 中， 2 1 1, , , , n− x x  x 是 n 个线性无关的向量，而且每一个次数小于 n 的数域 P 上的多项式都可以被它 们线性表出，所以 n P[x] 是 n 维的，而 2 1 1, , , , n− x x  x 就是它的一组基. 例 2 在 n 维的空间 n P 中，显然

E1=(1,0,…,0) E2=(0,…0) En=(0,0,…,1) 是一组基对于每一个向量a=(a1,a2,…,an),都有 = a1E1+a2E2+…+a 所以(a1a2…,an)就是向量a在这组基下的坐标 例3如果把复数域K看作是自身上的线性空间,那么它是一维的,数1就是一 组作是实数域上的线性空间,那么就是二维的,数1与i就是一组基这个例子告 诉我们,维数是和所考虑的数域有关的

       = = = (0,0, ,1) (0,1, ,0), (1,0, ,0), 2 1     n    是一组基.对于每一个向量 ( , , , )  = a1 a2  an ,都有 a a an n  =  +  ++  1 1 2 2 . 所以 ( , , , ) a1 a2  an 就是向量  在这组基下的坐标. 例 3 如果把复数域 K 看作是自身上的线性空间，那么它是一维的，数 1 就是一 组作是实数域上的线性空间，那么就是二维的，数 1 与 i 就是一组基.这个例子告 诉我们，维数是和所考虑的数域有关的