北京大学：《高等代数》课程（第三版）教学资源（讲义）第六章 线性空间（6.8）线性空间的同构

§8线性空间的同构 设61,E2…,5n是线性空间V的一组基,在这组基下,V中每个向量都有确定 的坐标,而向量的坐标可以看成P元素,因此向量与它的坐标之间的对应实质 上就是V到P"的一个映射.显然这个映射是单射与满射,换句话说,坐标给出了 线性空间V与P的一个双射.这个对应的重要性表现在它与运算的关系上.设 a=a1E1+a2E2+…+anEn B=bs1+b2E2+…+bn 而向量a,B,的坐标分别是(a1a2…,an),(b1,b2…,b),那么 a+B=(a1+b1)E1+(a2+b2)E2+…+(an+bn)En ka=ka,G+ka,a,+.+ka,a 于是向量a+B,ka的坐标分别是 (a1+b1,a2+b2 b)=(a (b1,b2,…,bn), ka,)=k( 以上的式子说明在向量用坐标表示之后,它们的运算就可以归结为它们坐标的运 算因而线性空间V的讨论也就可以归结为P的讨论 定义11数域P上两个线性空间V与V称为同构的,如果由V到V有一个 双射σ,具有以下性质: 1)a(a+B)=o(a)+G(B) e)o(ka)=ko(a) 其中a,B是V中任意向量,k是P中任意数这样的映射σ称为同构映射 前面的讨论说明在n维线性空间V中取定一组基后,向量与它的坐标之间 对应就是V到P的一个同构映射因而,数域P上任一个n维线性空间都与P"同 构

§8 线性空间的同构 设 n  , , , 1 2  是线性空间 V 的一组基，在这组基下， V 中每个向量都有确定 的坐标，而向量的坐标可以看成 n P 元素，因此向量与它的坐标之间的对应实质 上就是 V 到 n P 的一个映射.显然这个映射是单射与满射，换句话说，坐标给出了 线性空间 V 与 n P 的一个双射.这个对应的重要性表现在它与运算的关系上.设 a a an n  =  +  ++  1 1 2 2 , b b bn n  =  +  ++  1 1 2 2 而向量 , , 的坐标分别是 ( , , , ) a1 a2  an ,( , , , ) b1 b2  bn ，那么 a b a b an bn n   ( ) ( ) ( ) + = 1 + 1 1 + 2 + 2 2 ++ + ; n n k = ka  + ka  ++ ka  1 1 2 2 . 于是向量  +  , k 的坐标分别是 ( , , , ) ( , , , ) ( , , , ) a1 + b1 a2 + b2  an + bn = a1 a2  an + b1 b2  bn , ( , , , ) ( , , , ) 1 2 n a1 a2 an ka ka  ka = k  . 以上的式子说明在向量用坐标表示之后，它们的运算就可以归结为它们坐标的运 算.因而线性空间 V 的讨论也就可以归结为 n P 的讨论. 定义 11 数域 P 上两个线性空间 V 与 V 称为同构的，如果由 V 到 V 有一个 双射  ，具有以下性质： 1）  ( +  ) =  () + ( ) ; 2)  (k) = k (). 其中 ,  是 V 中任意向量， k 是 P 中任意数.这样的映射  称为同构映射. 前面的讨论说明在 n 维线性空间 V 中取定一组基后，向量与它的坐标之间的 对应就是 V 到 n P 的一个同构映射.因而，数域 P 上任一个 n 维线性空间都与 n P 同 构

由定义可以看出,同构映射具有下列性质: a(0)=0,(-a)=-0(a) 2.o(k1a1+k2a2+…+k,a1)=k1σ(a1)+k2σ(a2)+…+k,a(an) 3.V中向量组a1a2…ar线性相关<→它们的象σ(ax)(a2)…,o(a,) 线性相关 因为维数就是空间中线性无关向量的最大个数,所以由同构映射的性质可以 推知,同构的线性空间有相同的维数 4.如果V是V的一个线性子空间,那么,V在σ下的象集合 o()={(a)a∈} 是a()的子空间,并且V与σ(V1)维数相同 5.同构映射的逆映射以及两个同构映射的乘积还是同构映射 同构作为线性空间之间的一种关系,具有反身性、对称性与传递性. 既然数域P上任意一个n维线性空间都与P同构,由同构的对称性与传递性 即得,数域P上任意两个维线性空间都同构 定理12数域P上两个有限维线性空间同构的充要条件是它们有相同的维 由线性空间的抽象讨论中,并没有考虑线性空间的元素是什么,也没有考虑 其中运算是怎样定义的,而只涉及线性空间在所定义的运算下的代数性质.从这 个观点看来,同构的线性空间是可以不加区别的.因之,定理12说明了,维数是 有限维线性空间的唯一的本质特征

由定义可以看出，同构映射具有下列性质： 1.  (0) = 0, (−) = − () . 2. ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 r r 1 1 2 2 r r  k  + k  ++ k  = k   + k   ++ k   . 3. V 中向量组   r , , , 1 2  线性相关  它们的象 ( ), ( ), , ( )  1  2   r 线性相关. 因为维数就是空间中线性无关向量的最大个数，所以由同构映射的性质可以 推知，同构的线性空间有相同的维数. 4. 如果 V1 是 V 的一个线性子空间，那么， V1 在  下的象集合 (V1 ) = ()| V1 是  (V ) 的子空间，并且 V1 与 ( )  V1 维数相同. 5. 同构映射的逆映射以及两个同构映射的乘积还是同构映射. 同构作为线性空间之间的一种关系，具有反身性、对称性与传递性. 既然数域 P 上任意一个 n 维线性空间都与 n P 同构，由同构的对称性与传递性 即得，数域 P 上任意两个 n 维线性空间都同构. 定理 12 数域 P 上两个有限维线性空间同构的充要条件是它们有相同的维 数. 由线性空间的抽象讨论中，并没有考虑线性空间的元素是什么，也没有考虑 其中运算是怎样定义的，而只涉及线性空间在所定义的运算下的代数性质.从这 个观点看来，同构的线性空间是可以不加区别的.因之，定理 12 说明了，维数是 有限维线性空间的唯一的本质特征