北京大学：《高等代数》课程（第三版）教学资源（讲义）第六章 线性空间（6.7）子空间的直和

§7子空间的直和 定义9设V,V2是线性空间V的子空间,如果和+V2中每个向量a的分 解式 a=a+a ∈V 是唯一的,这个和就称为直和,记为V由V2 定理8和V+V是直和的充要条件是等式 a1+a2=0,a1∈V(=1,2 只有在a1全为零时才成立 推论和V+H2是直和∩n2=9} 定理9设V1,V2是线性空间V的子空间,令W=V+V2,则 W=V⊕V2分维(W)维(V)维(V2) 定理10设U是线性空间V的一个子空间,那么一定存在一个子空间W使 =U⊕W 子空间的直和的概念可以推广到多个子空间的情形 定义10设Ⅵ,V2,…V都是线性空间V的子空间,如果和+V2+…+V中 每个向量a的分解式 a=a1+a2+…+a,a1∈V(i=1,2,…,s) 是唯一的,这个和就称为直和,记为V由V2田…V 定理11V,V2…V是线性空间V的一些子空间,下面这些条件是等价的: 1)W=∑是直和; 2)零向量的表法唯一; 3)n∑v=(=1,2…,s) 4)维(W)∑维()

§7 子空间的直和 定义 9 设 1 2 V ,V 是线性空间 V 的子空间，如果和 V1+V2 中每个向量  的分 解式 1 2 1 1 2 2  = + ,  V , V 是唯一的，这个和就称为直和，记为 V1V2 . 定理 8 和 V1+V2 是直和的充要条件是等式 0 , ( 1, 2 ) 1 + 2 = i Vi i = 只有在  i 全为零时才成立. 推论 和 V1+V2 是直和  V1 V2 = 0. 定理 9 设 1 2 V ,V 是线性空间 V 的子空间，令 W =V1+V2 ，则 W =V1V2  维( W )=维( V1 )+维( V2 ). 定理 10 设 U 是线性空间 V 的一个子空间，那么一定存在一个子空间 W 使 V =U W . 子空间的直和的概念可以推广到多个子空间的情形. 定义 10 设 V V Vs , , , 1 2  都是线性空间 V 的子空间，如果和 V1+V2 ++Vs 中 每个向量  的分解式 , ( 1,2 , , ) 1 2 V i s  = + ++ s i  i =  是唯一的，这个和就称为直和，记为 V1V2 Vs . 定理 11 V V Vs , , , 1 2  是线性空间 V 的一些子空间，下面这些条件是等价的： 1） W =Vi 是直和； 2）零向量的表法唯一； 3） V V 0 (i 1,2, ,s) j i i  j = =   ; 4）维( W )=  ( ) 维 Vi