北京大学：《高等代数》课程（第三版）教学资源（讲义）第九章 欧几里得空间（9.3）同构

§3同构 定义8实数域R上欧氏空间V与称为同构的如果由V到有一个双射 ,满足 1)o(a+B)=o(a)+o(B), 2)o(ka)=ko(a) 3)(G(a),a(B)=(a,B), 这里a,B∈V,k∈R,这样的映射σ称为V到I的同构映射 由定义,如果是欧氏空间V到V的一个同构映射,那么也是V到Ⅳ作为 线性空间的同构映射因此,同构的欧氏空间必有相同的维数 设是一个n维欧氏空间,在V中取一组标准正交基E1,E2…,En,在这组基 下,V的每个向量a都可表成 a=x1E1+x2E2+…+xnE 令 (a)=(x1x °,xn)∈R 就是V到R"的一个双射,并且适合定义中条件1)2)上一节(3)式说明,σ也适合 条件3),因而σ是V到R"的一个同构映射,由此可知,每个n维的欧氏空间都 与R同构 同构作为欧氏空间之间的关系具有反身性、对称性与传递性 既然每个n维欧氏空间都与R同构,按对称性与传递性得,任意两个n维欧 氏空间都同构 定理3两个有限维欧氏空间同构分它们的维数相等 这个定理说明,从抽象的观点看,欧氏空间的结构完全被它们的维数决定

§3 同构 定义 8 实数域 R 上欧氏空间 V 与 V 称为同构的,如果由 V 到 V 有一个双射  ，满足 1)  ( +  ) =  () + ( ), 2)  (k) = k () , 3) ( (), ( )) = (,  ) , 这里 ,  V, k  R ，这样的映射  称为 V 到 V 的同构映射. 由定义，如果  是欧氏空间 V 到 V 的一个同构映射，那么也是 V 到 V 作为 线性空间的同构映射.因此，同构的欧氏空间必有相同的维数. 设 V 是一个 n 维欧氏空间，在 V 中取一组标准正交基 n  , , , 1 2  ，在这组基 下， V 的每个向量  都可表成 n n  = x  + x  ++ x  1 1 2 2 令 n  () = (x1 , x2 ,  , xn )  R 就是 V 到 n R 的一个双射，并且适合定义中条件 1),2).上一节(3)式说明，  也适合 条件 3)，因而  是 V 到 n R 的一个同构映射，由此可知，每个 n 维的欧氏空间都 与 n R 同构. 同构作为欧氏空间之间的关系具有反身性、对称性与传递性. 既然每个 n 维欧氏空间都与 n R 同构，按对称性与传递性得，任意两个 n 维欧 氏空间都同构. 定理 3 两个有限维欧氏空间同构  它们的维数相等. 这个定理说明，从抽象的观点看，欧氏空间的结构完全被它们的维数决定