《数学分析》课程电子教案（PPT课件）第一章 集合与映射（1.2）映射与函数

§2映射与函数 映射 映射是指两个集合之间的一种对应关系

§2 映射与函数 映射 映射是指两个集合之间的一种对应关系

§2映射与函数 映射 映射是指两个集合之间的一种对应关系 定义1.2.1设X,Y是两个给定的集合,若按照某种规则∫, 使得对集合X中的每一个元素x,都可以找到集合y中唯一确定的元 素y与之对应,则称这个对应规则∫是集合X到集合Y的一个映射 记为 f: X>Y xF→>y=f(x)。 其中y称为在映射∫之下x的像,x称为在映射f之下y的一个逆像 (也称为原像)

§2 映射与函数 定义1.2.1 设 X ，Y 是两个给定的集合，若按照某种规则 f ， 使得对集合 X 中的每一个元素 x ,都可以找到集合Y 中唯一确定的元 素 y与之对应，则称这个对应规则 f 是集合 X 到集合Y 的一个映射， 记为 f ： X → Y x y fx 6 = ( ) 。 其中 y称为在映射 f 之下 x的像， x称为在映射 f 之下 y的一个逆像 （也称为原像）。 映射 映射是指两个集合之间的一种对应关系

集合X称为映射∫的定义域,记为D=X。 在映射f之下,X中元素x的像y的全体称为映射∫的值域,记 为R: R={yyer并且y=f(x),x∈x}

集合 X 称为映射 f 的定义域，记为 Df = X 。 在映射 f 之下， X 中元素 x的像 y的全体称为映射 f 的值域，记 为 Rf ： Rf = ∈ { yyY 并且 y fx x X = ( ), } ∈

集合X称为映射∫的定义域,记为D=X。 在映射f之下,X中元素x的像y的全体称为映射∫的值域,记 为R R={yyer并且y=f(x),x∈x}。 例1.2.1设x是平面上所有三角形的全体,Y是平面上所有圆 的全体。则对应关系 f:X→Y x→y(y是三角形x的外接圆) 是一个映射,f的定义域与值域分别为D=X和R=Y

例1.2.1 设 X 是平面上所有三角形的全体，Y 是平面上所有圆 的全体。则对应关系 f ： X → Y x 6 y （ y是三角形 x的外接圆） 是一个映射， f 的定义域与值域分别为 Df = X 和 Rf = Y 。 集合 X 称为映射 f 的定义域，记为 Df = X 。 在映射 f 之下， X 中元素 x的像 y的全体称为映射 f 的值域，记 为 Rf ： Rf = ∈ { yyY 并且 y fx x X = ( ), } ∈

例1.2.2设X={x,B,y,Y={an,b,c,d},则对应关系 f(a=a, f(B)=d, f(r)=b 也是一个映射,f的定义域与值域分别为 D=X=a,B,r,,R=fa, b,dcr

例1.2.2 设 X = α β γ},,{ ，Y = {, ,, } a bcd ，则对应关系 α)( = af ， β )( = df ， γ )( = bf 也是一个映射， f 的定义域与值域分别为 Df = X = α β γ},,{ ， Rf = {, , } ab d Y ⊂

例1.2.2设X={x,B,y,Y={an,b,c,d},则对应关系 f(a=a, f(B)=d, f(r)=b 也是一个映射,f的定义域与值域分别为 D=X=a,B,r,,R=fa, b,dcr 构成一个映射必须具备下列三个基本要素: (1)集合X,即定义域D=X; (2)集合Y,即限制值域的范围:Rcy; 3)对应规则f,使每一个x∈X,有唯一确定的y=f(x)与之对应

构成一个映射必须具备下列三个基本要素： (1) 集合 X ，即定义域 D f = X ； (2) 集合 Y ，即限制值域的范围： R Y f ⊂ ； (3) 对应规则 f ，使每一个 x ∈ X ，有唯一确定的 y fx = ( )与之对应。 例1.2.2 设 X = α β γ},,{ ，Y = {, ,, } a bcd ，则对应关系 α)( = af ， β )( = df ， γ )( = bf 也是一个映射， f 的定义域与值域分别为 D f = X = α β γ},,{ ， R f = {, , } ab d Y ⊂

注 1.映射要求元素的像必须是唯一的。 例如,设X=R',Y=R,对应规则∫要求对每一个x∈R+, 的像y∈R且满足关系y2=x,这样的对应规则∫不满足像的唯一性 要求。 对于不满足像的唯一性要求的对应规则,一般只要对值域范围 稍加限制,就能使它成为映射

注 1． 映射要求元素的像必须是唯一的。 例如，设 + X = R , Y = R ，对应规则 f 要求对每一个 + x ∈ R ，它 的像 y ∈ R 且满足关系 y x 2 = ，这样的对应规则 f 不满足像的唯一性 要求。 对于不满足像的唯一性要求的对应规则，一般只要对值域范围 稍加限制，就能使它成为映射

例1.2.3设X=R,Y=R={x-x∈Rt},则对应关系 f:X→>Y xF→>y(y2=x) 是一个映射

例1.2.3 设 + X = R , − Y = R { }+ xx ∈−= R ,则对应关系 f ： X → Y x yy x 6 ( ) 2 = 是一个映射

例1.2.3设X=R,Y=R={x-x∈Rt},则对应关系 f:X→>Y xF→>y(y2=x) 是一个映射。 2.映射并不要求逆像也具有唯一性。 例1.2.4设X=Y=R,则 f:X→Y 是一个映射

2.映射并不要求逆像也具有唯一性。 例1.2.4 设 X = Y = R，则 f ： X → Y x yx 6 = 2 是一个映射。 例1.2.3 设 + X = R , − Y = R { } + xx ∈−= R ,则对应关系 f ： X → Y x yy x 6 ( ) 2 = 是一个映射

定义1.2.2 设∫是集合ⅹ到集合的一个映射,若∫的逆像也具有唯一性, 即对ⅹ中的任意两个不同元素x1≠x2,它们的像y与y2也满足y≠y2, 则称∫为单射 如果映射∫满足R,=Y,则称∫为满射; 如果映射∫既是单射,又是满射,则称∫是双射(又称一一对应)

定义1.2.2 设 f 是集合 X 到集合Y 的一个映射，若 f 的逆像也具有唯一性， 即对 X 中的任意两个不同元素 x x 1 2 ≠ ，它们的像 y1与 y2也满足 y y 1 2 ≠ ， 则称 f 为单射； 如果映射 f 满足 Rf =Y ,则称 f 为满射； 如果映射 f 既是单射，又是满射，则称 f 是双射（又称一一对应）