《数学分析》课程电子教案（PPT课件）第十二章 多元函数的微分学（12.6）无条件极值

§6无条件极值 无条件极值 定义12.6.1设D∈R"为开区域,f(x)为定义在D上的函数, (x3,x2…,x0)∈D。若存在x的邻域O(x,r),使得 f(x0)≥f(x)(或∫(x)≤∫(x),x∈O(x0,r), 则称x为∫的极大值点(或极小值点);相应地,称f(x)为相应的极 大值(或极小值);极大值点与极小值点统称为极值点,极大值与极 小值统称为极值

无条件极值 定义 12.6.1 设 D n ∈R 为开区域， f x)( 为定义在 D 上的函数， 0 x ),,,( 002 01 n = " xxx ∈D。若存在 0 x 的邻域 ),( 0 x rO ，使得 )),()(()()( 0 0 ≥ 或 ≤ ffff xxxx x ∈ ),( 0 x rO ， 则称 0 x 为 f 的极大值点（或极小值点）；相应地，称 )( 0 f x 为相应的极 大值（或极小值）；极大值点与极小值点统称为极值点，极大值与极 小值统称为极值。 §6 无条件极值

先考察一个点为极值点的必要条件。 定理12.6.1(必要条件)设x为函数f的极值点,且∫在xn点 可偏导,则∫在x点的各个一阶偏导数都为零,即 f2(x0)=f21(x0)=…=f2(x0)=0。 证只证明f(x)=0,其他类似。考虑一元函数 (x1)=f(x1,x2,…,x), 则x是g(x1)的极值点。由于f在x点可偏导,因此a(x1)在x点可导, 由 Fermat引理,即得到 (x)=f( 使函数f的各个一阶偏导数同时为零的点称为f的驻点

先考察一个点为极值点的必要条件。 定理 12.6.1（必要条件） 设 x0 为函数 f 的极值点，且 f 在 x0 点 可偏导，则 f 在 0 x 点的各个一阶偏导数都为零，即 0)()()(1 0 = 2 xx 0 = = x0 = n x x x ff " f 。 证 只证明 0)( 0 1 f x x = ，其他类似。考虑一元函数 ),,,()( 0 0 1 21 n ϕ = " xxxfx ， 则 0 1 x 是 )( 1 ϕ x 的极值点。由于 f 在 0 x 点可偏导，因此 )( 1 ϕ x 在 0 1 x 点可导， 由 Fermat 引理，即得到 )( 0 1 ϕ′ x = 0),,,( 0 0 2 0 1 1x " xxxf n = 。 使函数 f 的各个一阶偏导数同时为零的点称为 f 的驻点

注首先,定理12.6.1的条件不是充分的,即驻点不一定是极值 点。如马鞍面方程∫(x,y)=x满足 f(0.0)=f,(0.0)=0, 但在(00的任何邻域里,总同时存在使f(x,y)为正和为负的点。而 f(0)=0,因此(0.0)不是f的极值点(见图12.6.1)。 图126.1

注 首先，定理 12.6.1 的条件不是充分的，即驻点不一定是极值 点。如马鞍面方程 ),( = xyyxf 满足 = = 0)0,0()0,0( x y ff ， 但在 )0,0( 的任何邻域里，总同时存在使 yxf ),( 为正和为负的点。而 f = 0)0,0( ，因此 )0,0( 不是 f 的极值点（见图 12.6.1）。 z y O x 图 12.6.1

其次,偏导数不存在的点也可能是极值点。如柱面方程 f(x,y)=1x|,整个y轴上的每一点(0,y)都是f的极小值点。但在y轴上 的任一点(0,y)处,f关于x的偏导数都不存在(见图126.2)。 x 图12.62

其次，偏导数不存在的点也可能是极值点。如柱面方 程 = xyxf ||),( ，整个 y 轴上的每一点 y),0( 都是 f 的极小值点。但在 y 轴 上 的任一点 y),0( 处， f 关于 x的偏导数都不存在（见图 12.6.2）。 z O y x 图 12.6.2

那么,要加上什么条件才能保证驻点是极值点呢?我们先对二元 函数进行讨论。 设z=f(x,y)在(x0y)点附近具有二阶连续偏导数,且(x0,y)为f 的驻点,即 f(x0,y0)=f,(x0,y) 那么由 Taylor公式得到 f(o+ Ax,yo+ Ay)-f(xo,yo=tx()Ax +2fx (P)AxAy+fy(P)Ayj 其中P=(x+Ax,y+y,0<6<1。由于f的二阶偏导数在(xn,y)点连 续,因此 )=fx(x0,y0)+ fw(xo, yo)+B, f()=f(o, yo)+r 其中a,By为当p=Ax2+4y2→0时的无穷小量

那么，要加上什么条件才能保证驻点是极值点呢？我们先对二元 函数进行讨论。 设 = yxfz ),( 在 ),( 00 yx 点附近具有二阶连续偏导数，且 ),( 00 yx 为 f 的驻点，即 0),(),( x 00 = y yxfyxf 00 = ， 那么由 Taylor 公式得到 2 2 0 0 00 1 ( , ) ( , ) { () 2 () () } 2 xx xy yy f x xy y f x y f P x f P x y f P y +Δ +Δ − = Δ + Δ Δ + Δ   ， 其中 10),,( ~ 0 0 yyxxP θθθ <<Δ+Δ+= 。由于 f 的二阶偏导数在 ),( 00 yx 点连 续，因此 = + α = + β = ),() + γ ~ (,),() ~ (,),() ~ ( 00 00 00 yxfPfyxfPfyxfPf xx xx xy xy yy yy ， 其中 α β,, γ 为当 0 ρ yx 22 →Δ+Δ= 时的无穷小量

于 yo+△y)-f(x,y) 2Vxr o,yo )Ax2+2f(o, yo )AxAy+f,(xo, yo )Ay+aAx+2BAxAy+yay p2Vx(x,y)2+2fn(x,y)7+fm(x0,y0)2+o(1) (p→0), 其中5 △x 7 由于22+n2=1,因此,判断f(x0,y)是否为极值的问题就转化为 判断二次型 8(5,m)=fn(x0,y)32+2/(x0,y)57+f(x0,y2 在单位圆周 S=(5,m)∈R252+n2=1 上是否保号的问题

于是 { } 2 2 2 00 00 2 00 0 0 00 ),(2),( ),( 2 21 ),(),( yyxxyyxfyxyxfxyxf yxfyyxxf = xx +Δ xy +ΔΔ yy Δ+ΔΔ+Δ+Δ +Δ+ Δ − γβα { )1(),(),(2),( } 21 2 00 00 2 00 2 oyxfyxfyxf = ρ xx ξ + xy ξη + yy η + ρ → )0( ， 其中 ρ η ρ ξ Δyx = Δ = , 。 由于 1 22 ηξ =+ ，因此，判断 ),( 00 yxf 是否为极值的问题就转化为 判断二次型 2 00 00 2 00 ηξ = xx ξ + xy ξη + yy yxfyxfyxfg ),(),(2),(),( η 在单位圆周 S ),{( }1 222 R ηξηξ =+∈= 上是否保号的问题

若二次型g(,m)是正定的,那么g(,m)在S上的最小值一定满足 min{g(2,)}=m>0。 (,)∈ 因此当p≠0且p充分小时, f(x+Ax, yo +Ay)-f(ro, yo) 303f(xy0)2+2J(x,形)7+fm(x,ym2+0( ≥p2{m+o(1)}>0 即f(xny)为极小值

若二次型g ξ η),( 是正定的，那么g ξ η),( 在 S 上的最小值一定满足 (,) min {g m (,)} 0 ξ η ξ η ∈ = > S 。 因此当ρ ≠ 0且 ρ 充分小时， { } { } 0 0 00 2 2 2 0 0 0 0 0 0 2 ( , ) (, ) 1 ( , ) 2 ( , ) ( , ) (1) 2 1 (1) 0, 2 xx xy yy f x xy y f x y f xy f xy f xy o m o ρξ ξη η ρ +Δ +Δ − = + ++ ≥ +> 即 ),( 00 yxf 为极小值

若二次型g(,n)是正定的,那么g(,m)在S上的最小值一定满足 min{g(5,m)}=m>0。 (,n)∈S 因此当p≠0且p充分小时, f(x+Ax, yo +Ay)-f(ro, yo) 3o2{f(x,2+2(x)5+(x)2+0( ≥p2{m+o(1)}>0 即f(xny)为极小值 类似地,若二次型g(,m)为负定的,那么f(x,y)为极大值。 若二次型g(,m)是不定的,同样易知∫(x03y)既不是极大值,也 不是极小值

若二次型g ξ η),( 是正定的，那么g ξ η),( 在 S 上的最小值一定满足 (,) min {g m (,)} 0 ξ η ξ η ∈ = > S 。 因此当ρ ≠ 0且 ρ 充分小时， { } { } 0 0 00 2 2 2 0 0 0 0 0 0 2 ( , ) (, ) 1 ( , ) 2 ( , ) ( , ) (1) 2 1 (1) 0, 2 xx xy yy f x xy y f x y f xy f xy f xy o m o ρξ ξη η ρ +Δ +Δ − = + ++ ≥ +> 即 ),( 00 yxf 为极小值。 类似地，若二次型 g ηξ ),( 为负定的，那么 ),( 00 yxf 为极大值。 若二次型 g ηξ ),( 是不定的，同样易知 ),( 00 yxf 既不是极大值，也 不是极小值

综合以上讨论,结合代数学的知识,就得到 定理126.2设(xny3)为f的驻点,∫在(x,yn)附近具有二阶连 续偏导数。记 A=f (ro, yo), B=f(ro,yo), C=f(xo, yo) 开记 =AC-B B C 那么 (1)若H>0:A>0时f(xny)为极小值;A<0时f(x0,y)为极大 值: (2)若H<0:f(x0,y)不是极值。 (3)当H=0时,不难举例说明,∫(xy)可能是极值,也可能不 是极值

综合以上讨论，结合代数学的知识，就得到 定理 12.6.2 设 ),( 00 yx 为 f 的驻点， f 在 ),( 00 yx 附近具有二阶连 续偏导数 。 记 ),(),,(),,( 00 00 00 = xx = xy = yy yxfCyxfByxfA ， 并记 2 BAC CB BA H −== ， 那么 （ 1 ） 若 H > 0： A > 0 时 ),( 00 yxf 为极小值； A < 0 时 ),( 00 yxf 为极大 值； （ 2 ） 若 H < 0： ),( 00 yxf 不是极值 。 （3） 当 H = 0时，不难举例说明， ),( 00 yxf 可能是极值， 也可能不 是极值

例12.6.1求函数f(x,y)=x(a-x-y)(a≠0)的极值。 解先找驻点,即解方程组 yla-x-y)-xy=0, af x(a-x-y 易解出驻点为()(9(0a)和/a) 再求二阶偏导数, af=-2y, axay 2x-2y X

例 12.6.1 求函数 = − − ayxaxyyxf ≠ )0()(),( 的极值。 解 先找驻点，即解方程组 ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ =−−−= ∂ ∂ =−−−= ∂ ∂ .0)( ,0)( xyyxax y f xyyxay x f 易解出驻点为 aa ),0(),0,(),0,0( 和 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ 3 , 3 aa 。 再求二阶偏导数， x y f yxa yx f y x f ,2 ,22 2 2 2 2 2 2 −= ∂ ∂ −−= ∂∂ ∂ −= ∂ ∂