《数学分析》课程电子教案（PPT课件）第十章 函数项级数（10.3）幂级数

§3幂级数 n… n=0 这样的函数项级数称为幂级数幂级数的部分和函数Sn(x)是一个n-1 次多项式。 为了方便,我们通常取x=0,也就是讨论 a,"= an+ a x a... ".. 然后对所得的结果做一个平移x=t-x,就可以平行推广到x≠0的情 况

∑ ∞ = − 0 0 )( n n n xxa = a0 + )(1 0 − xxa 2 2 0 −+ xxa )( +"+ n n xxa )( − 0 +" 这样的函数项级数称为幂级数。幂级数的部分和函数 Sn(x)是一个n −1 次多项式。 为了方便，我们通常取 0 x = 0, 也就是讨论 ∑ ∞ n=0 n n xa = a0 + 1 xa 2 2 + xa +"+ n n xa +"， 然后对所得的结果做一个平移 x = 0 − xt ，就可以平行推广到x0 ≠ 0的情 况。 §3 幂级数

幂级数的收敛半径 对于幂级数∑anx,首先有 lim巛a.x i《a 根据数项级数的 Cauchy判别法,当上面的极限值小于1时, ∑ax"绝对收敛;当上面的极限值大于1时,∑ax"发散。 令 A=lim v/la 定义 +O,当A=0 R 当A∈(0,+∞) A 0,当4 则我们有

幂级数的收敛半径 对于幂级数∑ ∞ n=0 n n xa ，首先有 n ∞→ lim n n n xa || = n ∞→ lim ⋅ n n a || ｜x｜， 根据数项级数的 Cauchy 判别法，当上面的极限值小于 1 时， ∑ ∞ n=0 n n xa 绝对收敛；当上面的极限值大于 1 时，∑ ∞ n=0 n n xa 发散。 令 A = n ∞→ lim n n a || ， 定义 R = ⎪⎩ ⎪⎨⎧ +∞= +∞∈ ∞+ = , ),,0( ,0 ,0 , 1 , A A A A 当 当 当 则我们有

定理10.3.1( Cauchy- Hadamard定理)幂级数∑ax”当|xkR (R>0)时绝对收敛;当|x>R时发散 注意在区间的端点x=±R,幂级数收敛与否必须另行判断

定理 10.3.1（Cauchy - Hadamard 定理）幂级数∑ ∞ n=0 n n xa 当 || 0）时绝对收敛；当 || > Rx 时发散。 注意在区间的端点 x =±R，幂级数收敛与否必须另行判断

定理10.3.1( Cauchy- Hadamard定理)幂级数∑ax”当|xkR (R>0)时绝对收敛;当|xR时发散 注意在区间的端点x=±R,幂级数收敛与否必须另行判断 对于∑a(x-x),则有平行的结论:幂级数在以x为中心,以R 为半径的对称区间内绝对收敛,而在该区间外发散。在区间的端点x0 士R,幂级数的敛散性必须另行判断 数R称为幂级数的收敛半径。当R=+∞时,幂级数对一切x都是 绝对收敛的;当R=0时,幂级数仅当x=x0时收敛

对于∑ ∞ = − 0 0 )( n n n xxa ，则有平行的结论：幂级数在以 0 x 为中心，以R 为半径的对称区间内绝对收敛，而在该区间外发散。在区间的端点 0 x ±R，幂级数的敛散性必须另行判断。 数 R 称为幂级数的收敛半径。当R +∞= 时，幂级数对一切 x 都是 绝对收敛的；当 R = 0 时，幂级数仅当 x = 0 x 时收敛。 定理 10.3.1（Cauchy - Hadamard 定理）幂级数∑ ∞ n=0 n n xa 当 || 0）时绝对收敛；当 || > Rx 时发散。 注意在区间的端点 x =±R，幂级数收敛与否必须另行判断

例10.3.1幂级数∑,∑,∑mx+1)的收敛半径都是 R=1。∑x的收敛域是-1,1∑x的收敛域是D2]:∑x+y 的收敛域是(-2,0)

例 10.3.1 幂级数∑ ∞ n=1 n n x ，∑ ∞ = − 1 2 )1( n n n x ，∑ ∞ = + 1 )1( n n xn 的收敛半径都是 R = 1。∑ ∞ n=1 n n x 的收敛域是[-1,1)；∑∞ = − 1 2 )1( n n n x 的收敛域是[0,2]；∑∞ = + 1 )1( n n xn 的收敛域是(-2,0)

例10.3.1幂级数∑,∑,∑mx+1)的收敛半径都是 R=1。∑x的收敛域是-1,1∑x的收敛域是D2]:∑x+y -1n 的收敛域是(-2,0)。 例1032考察幂级数∑((x-1)的收敛情况。 解因为 hm42+(4y=3, n→)0 所以收敛半径为R 读者可以自己证明:当x=1+R=5与x=1-R=1时,幂级数都 2 6 是发散的。因此它的收敛域是

例 10.3.2 考察幂级数∑ ∞ = ⎟⎠⎞ ⎜⎝⎛ − −+ 0 21])1(2[ n n nn x n 的收敛情况。 解 因为 n ∞→ lim n nn n −+ ])1(2[ = 3， 所以收敛半径为 R = 31 。 读者可以自己证明：当 x = + 21 R = 65 与 x = − 21 R = 61 时，幂级数都 是发散的。因此它的收敛域是 ⎟⎠⎞ ⎜⎝⎛ 65, 61 。 例 10.3.1 幂级数∑ ∞ n=1 n n x ，∑ ∞ = − 1 2 )1( n n n x ，∑ ∞ = + 1 )1( n n xn 的收敛半径都是 R = 1。∑ ∞ n=1 n n x 的收敛域是[-1,1)；∑∞ = − 1 2 )1( n n n x 的收敛域是[0,2]；∑∞ = + 1 )1( n n xn 的收敛域是(-2,0)

在判断数项级数的收敛性时,除了 Cauchy判别法,还有 D' Alembert判别法,下面的定理就是 D'Alembert判别法在幂级数上的 应用。 定理10.3.2( D'Alembert判别法)如果对幂级数∑anx"成立 Im A n→0a 则此幂级数的收敛半径为R 定理的证明包含在引理9.3.1给出的不等式 小d≤ Iim vlan s lim <li n→ n→0 n→①0

在判断数项级数的收敛性时，除了 Cauchy 判别法，还有 D'Alembert 判别法，下面的定理就是 D'Alembert 判别法在幂级数上的 应用。 定理 10.3.2 (D'Alembert 判别法) 如果对幂级数 ∑ ∞ n =0 n n xa 成立 n ∞→ lim n n a a +1 = A， 则此幂级数的收敛半径为 R = A 1 。 定理的证明包含在引理 9.3.1 给出的不等式 n ∞→ lim ≤ + n n a a 1 n ∞→ lim n a n || ≤ n ∞→ lim n a n || ≤ n ∞→ lim n n a a +1 中

例10.3.3考察幂级数∑x”的收敛情况。 解因为 (n+1) n+1 n lim Im e n→ 所以收敛半径为R=1。 当x=时,∑x"是正项级数,由 Stirling公式(例9.5.5), (n→>∞) n+一 e Jn πn2e 可知∑x在x=时发散;

例 10.3.3 考察幂级数∑ ∞ =0 ! n n n x n n 的收敛情况。 解 因为 n ∞→ lim n n a a +1 = n ∞→ lim ! )!1( )1( 1 n n n n n n + + + = e， 所以收敛半径为 R = e 1 。 当 x = e 1 时，∑∞ =0 ! n n n x n n 是正项级数，由 Stirling 公式（例 9.5.5）， n n x n n ! ～ n n n n n − + π e2 2 1 e 1 ⋅ = 2πn 1 ( n → ∞ ) 可知∑ ∞ =0 ! n n n x n n 在 x = e 1 时发散；

当x=-,∑”x是交错级数,由于 n+1 (n+irx (n+1) 1+ 且 0(n→>∞) vaN 可知∑x在x=-时是 Leibniz级数,所以收敛 综上所述,∑”x的收敛域是 ee

当 x = e 1 − ，∑ ∞ =0 ! n n n x n n 是交错级数，由于 n n n n x n n x n n ! )!1( )1( 1 1 + + + + = e 1 1 1 1 ⎟ < ⎠⎞ ⎜⎝⎛ + n n 且 n n x n n ! ～ 0 2 1 → πn ( n → ∞ )， 可知∑ ∞ =0 ! n n n x n n 在 x = e 1 − 时是 Leibniz 级数，所以收敛。 综上所述，∑ ∞ =0 ! n n n x n n 的收敛域是 1 1, e e ⎡ ⎞ ⎢− ⎟ ⎣ ⎠

幂级数的性质 Abel第一定理:如果幂级数在点收敛,则当|xk时幂级数绝 对收敛;如果幂级数在点n发散,则当|x>n时幂级数发散。 显然,这一结论已包含在定理10.31之中

幂级数的性质 Abel 第一定理：如果幂级数在点ξ 收敛，则当| || | x η 时幂级数发散。 显然，这一结论已包含在定理 10.3.1 之中