北京大学：《高等代数》课程（第三版）教学资源（讲义）第九章 欧几里得空间（9.4）正交变换

§4正交变换 定义9欧氏空间V的线性变换叫做一个正交变换,如果它保持向量的内积 不变,即对任意的,都有a,B∈V,都有 Ca, aB)=(a, B) 正交变换可以从几个不同方面公平加以刻画. 定理4设星是维欧氏空间的一个线性变换,于是下面四个命题是相互等价 的 1)是正交变换; 2)保持向量的长度不变,即对于a∈V,a|=|a 3)如果E1,2…,En是标准正交基,那么月E1,月E2,…,月En也是标准正交 基 4)在任一组标准正交基下的矩阵是正交矩阵. 因为正交矩阵是可逆的,所以正交变换是可逆的.由定义看出,正交变换实 际上就是一个欧氏空间到自身的同构映射,因而正交变换的乘积与正变换的逆变 换还是正交变换.在标准正交基下,正交变换与正交矩阵对应,因此,正交变换 的乘积与正交矩阵的逆矩阵也是正交矩阵. 如果A是正交矩阵,那么由 AA=E 可知 4=1或者A=土1 因此,正交变换的行列式等于+1或-1.行列式等于+1的正交矩阵通常称为旋转, 或者称为第一类的;行列式等于-1的正交变换称为第二类的 例如,在欧氏空间中任取一组标准正交基E1E2,…,En,定义线性变换A为: AE1=-E1,AE1=E1,i=2,3,…,n 那么,就是一个第二类的正交变换.从几何上看,这是一个镜面反射

§4 正交变换 定义 9 欧氏空间 V 的线性变换 A 叫做一个正交变换,如果它保持向量的内积 不变，即对任意的，都有 ,  V ,都有. (A  ,A  )= (,  ) . 正交变换可以从几个不同方面公平加以刻画. 定理 4 设 A 是维欧氏空间的一个线性变换，于是下面四个命题是相互等价 的： 1）A 是正交变换； 2）A 保持向量的长度不变，即对于  V ,|A  |=|  |; 3）如果 n  , , , 1 2  是标准正交基，那么 A 1  , A 2  ,…, A n  也是标准正交 基； 4）A 在任一组标准正交基下的矩阵是正交矩阵. 因为正交矩阵是可逆的，所以正交变换是可逆的.由定义看出，正交变换实 际上就是一个欧氏空间到自身的同构映射，因而正交变换的乘积与正变换的逆变 换还是正交变换.在标准正交基下，正交变换与正交矩阵对应，因此，正交变换 的乘积与正交矩阵的逆矩阵也是正交矩阵. 如果 A 是正交矩阵，那么由 AA = E 可知 1 2 A = 或者 A = 1. 因此，正交变换的行列式等于+1 或-1.行列式等于+1 的正交矩阵通常称为旋转， 或者称为第一类的；行列式等于-1 的正交变换称为第二类的. 例如，在欧氏空间中任取一组标准正交基 n  , , , 1 2  ，定义线性变换 A 为： A , 1 1  = − A  i =  i , i = 2,3,  ,n . 那么，A 就是一个第二类的正交变换.从几何上看，这是一个镜面反射

例1令H是空间V3里过原点的一个平面,vev3,令5对于H的镜面反射 与它对应a:5H5是V的一个正交变换 例2设∈L(R),令0(5)=(x2x3,x)V5=(x1,x2,x)∈V3则是R的 个正交变换 例3将V2的每一向量旋转一个角的正交变换关于V2的任意标准正交基 的矩阵是 cosq-smφ 又令O是例1中的正交变换在平面H内取两个正交的单位向量y1,y2,再取 个垂直于H的单位向量y3,那么{y1,y2,y3}是V3的一个规范正交基,G关于这 个基的矩阵是 00 010 以上两个矩阵都是正交矩阵

例 1 令 H 是空间 V3 里过原点的一个平面,  V3 ,令  对于 H 的镜面反射   与它对应. :    是 V3 的一个正交变换. 例 2 设 ( ) 3   L R ,令 2 3 1 1 2 3 3 () = (x , x , x ),  = (x , x , x )V .则  是 3 R 的 一个正交变换. 例 3 将 V2 的每一向量旋转一个角  的正交变换关于 V2 的任意标准正交基 的矩阵是         −     sin cos cos sin . 又令  是例 1 中的正交变换.在平面 H 内取两个正交的单位向量 1 2  , ,再取 一个垂直于 H 的单位向量 3  ,那么  1 , 2 , 3  是 V3 的一个规范正交基,  关于这 个基的矩阵是           0 0 −1 0 1 0 1 0 0 以上两个矩阵都是正交矩阵