北京大学：《高等代数》课程（第三版）教学资源（讲义）第七章 线性变换（7.9）最小多项式

§9最小多项式 根据哈密尔顿一凯莱定理,任给数域P上一个n级矩阵A,总可以找到数域 P上一个多项式f(x),使f(A)=0.如果多项式f(x)使f(A)=0,就称f(x)以A 为根当然,以为A根的多项式是很多的,其中次数最低的首项系数为1的以A为 根的多项式称为A的最小多项式这一节讨论应用最小多项式来判断一个矩阵能 否对角化的问题 引理1矩阵A的最小多项式是唯一的 引理2设g(x)是矩阵A的最小多项式,那么f(x)以A为根的充要条件是 g(x)整除f(x) 由此可知,矩阵A的最小多项式是A的特征多项式的一个因式 例1数量矩阵kE的最小多项式为x-k,特别地,单位矩阵的最小多项式为 x-1,零矩阵的最小多项式为x.另一方面,如果A的最小多项式是1次多项式 那么A一定是数量矩阵 例2设 A 求A的最小多项式 例3设 A A与B的最小多项式都等于(x-1)2(x-2),但是它们的特征多项式不同,因此A 和B不是相似的 引理3设A是一个准对角矩阵 A A 并设A1的最小多项式为g1(x),A2的最小多项式为g2(x),那么A的最小多项式为

§9 最小多项式 根据哈密尔顿—凯莱定理，任给数域 P 上一个 n 级矩阵 A ，总可以找到数域 P 上一个多项式 f (x) ，使 f (A) = 0.如果多项式 f (x) 使 f (A) = 0 ，就称 f (x) 以 A 为根.当然，以为 A 根的多项式是很多的，其中次数最低的首项系数为 1 的以 A 为 根的多项式称为 A 的最小多项式.这一节讨论应用最小多项式来判断一个矩阵能 否对角化的问题. 引理 1 矩阵 A 的最小多项式是唯一的. 引理 2 设 g(x) 是矩阵 A 的最小多项式，那么 f (x) 以 A 为根的充要条件是 g(x) 整除 f (x) . 由此可知，矩阵 A 的最小多项式是 A 的特征多项式的一个因式. 例 1 数量矩阵 kE 的最小多项式为 x − k ，特别地，单位矩阵的最小多项式为 x −1 ，零矩阵的最小多项式为 x .另一方面，如果 A 的最小多项式是 1 次多项式， 那么 A 一定是数量矩阵. 例 2 设           = 1 1 1 1 A 求 A 的最小多项式. 例 3 设               =               = 2 2 1 1 1 , 2 1 1 1 1 A B . A 与 B 的最小多项式都等于 ( 1) ( 2) 2 x − x − ，但是它们的特征多项式不同，因此 A 和 B 不是相似的. 引理 3 设 A 是一个准对角矩阵         = 2 1 A A A , 并设 A1 的最小多项式为 ( ) 1 g x ，A2 的最小多项式为 ( ) 2 g x ,那么 A 的最小多项式为

g;(x),g2(x)的最小公倍式[g1(x),g2(x) 这个结论可以推广到A为若干个矩阵组成的准对角矩阵的情形即:如果 A1的最小多项式为g(x),i=1,2,…s,那么A的最小多项式为 81(x),g2(x),…,g,(x) 引理4k级若尔当块 的最小多项式为(x-a) 定理15数域P上n级矩阵A与对角矩阵相似的充要条件为A的最小多项式 是P上互素的一次因式的乘积 推论复数矩阵A与对角矩阵相似的充要条件是A的最小多项式没有重根

( ) 1 g x , ( ) 2 g x 的最小公倍式 [ ( ), ( )] 1 2 g x g x . 这个结论可以推广到 A 为若干个矩阵组成的准对角矩阵的情形.即：如果               = As A A A  2 1 , Ai 的 最 小 多 项 式 为 g x i s i ( ), =1, 2 ,  , ，那么 A 的 最 小 多 项 式 为 [ ( ), ( ), , ( )] 1 2 g x g x g x  s 引理 4 k 级若尔当块               = a a a J 1 1   的最小多项式为 k (x − a) . 定理 15 数域 P 上 n 级矩阵 A 与对角矩阵相似的充要条件为 A 的最小多项式 是 P 上互素的一次因式的乘积. 推论 复数矩阵 A 与对角矩阵相似的充要条件是 A 的最小多项式没有重根