北京大学：《高等代数》课程（第三版）教学资源（讲义）第十章 双线性函数与辛空间（10.1）线性函数

第十章双线性函数与辛空间 §1线性函数 定义1设V是数域P上的一个线性空间,f是V到P的一个映射,如果f满 足 1)f(a+B)=f(a)+f(B); 2)f(ka)=kf(a), 式中a,B是V中任意元素,k是P中任意数,则称f为V上的一个线性函数 从定义可推出线性函数的以下简单性质: 设∫是V上的线性函数,则f(O)=0,f(-a)=-f(a) 2.如果B是a1a2…a,的线性组合: B=k,a,+k,a 那么 f(B)=k1f(a1)+k2f(a2)+…+k,f(a,) 例1设a1,a2…,an是P中任意数,X=(x xn)是P中的向量函数 f(X)=f(x1,x2,…,xn)=a1x1+a2x2+…+anxn 就是P上的一个线性函数当a1=a2=…=an=0时,得f(X)=0,称为零函数, 仍用0表示零函数 实际上,Pn上的任意一个线性函数都可以表成这种形式 第i个 P中任一向量X=(x1,x2…,x)可表成 X 设∫是P”上一个线性函数,则

第十章 双线性函数与辛空间 §1 线性函数 定义 1 设 V 是数域 P 上的一个线性空间， f 是 V 到 P 的一个映射，如果 f 满 足 1） f ( +  ) = f () + f ( ) ; 2） f (k) = kf (), 式中 ,  是 V 中任意元素， k 是 P 中任意数，则称 f 为 V 上的一个线性函数. 从定义可推出线性函数的以下简单性质： 1. 设 f 是 V 上的线性函数，则 f (0) = 0, f (−) = − f () . 2. 如果  是    s , , , 1 2  的线性组合： s s  = k11 + k2 2 ++ k  那么 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 s s f  = k f  + k f  ++ k f  例 1 设 a a an , , , 1 2  是 P 中任意数， ( , , , ) 1 2 n X = x x  x 是 n P 中的向量.函数 n n n f X = f x x  x = a x + a x ++ a x 1 2 1 1 2 2 ( ) ( , , , ) (1) 就是 P 上的一个线性函数.当 a1 = a2 == an = 0 时，得 f (X ) = 0 ,称为零函数， 仍用 0 表示零函数. 实际上， n P 上的任意一个线性函数都可以表成这种形式. 令  i = (0 ,  ,0,1, 0,  ,0), i =1, 2 ,  , n . 第 i 个 n P 中任一向量 ( , , , ) 1 2 n X = x x  x 可表成 n n X = x  + x  ++ x  1 1 2 2 . 设 f 是 n P 上一个线性函数，则

f(X)=f(∑xE,)=∑xf() f(E1),i= 则 f(x)=a,x,+a2x2+.+a,x 就是上述形式 例2A是数域P上一个n级矩阵,设 A 21 则A的迹 7r(A) 是P上全体n级矩阵构成的线性空间Pm上的一个线性函数 例3设=P[x],t是P中一个取定的数定义Px]上的函数L,为 L (P(x))=p(0), P(xEPx] 即L(p(x)为p(x)在t点的值,L1(p(x)是Px上的线性函数 如果V是数域P上一个n维线性空间取定V的一组基61,E2,…,En对V上任 意线性函数∫及V中任意向量a: x,atx 都有 f(E;) 因此,f(a)由f(s1),∫(s2)…,f(En)的值唯一确定反之,任给P中n个数 a12a2…,an,用下式定义V上一个函数f

  = = = = n i i i n i i i f X f x x f 1 1 ( ) (  ) ( ) 令 a f ( ), i 1 2 n , i =  i = ，，， 则 n n f X = a x + a x ++ a x 1 1 2 2 ( ) 就是上述形式. 例 2 A 是数域 P 上一个 n 级矩阵，设               = n n nn n n a a a a a a a a a A       1 2 21 22 2 11 12 1 , 则 A 的迹 Tr A = a11 + a22 ++ ann ( ) 是 P 上全体 n 级矩阵构成的线性空间 n n P  上的一个线性函数. 例 3 设 V = P[x],t 是 P 中一个取定的数.定义 P[x] 上的函数 Lt 为 L (P(x)) p(t) , p(x) P[x] t =  , 即 L ( p(x)) t 为 p(x) 在 t 点的值， L ( p(x)) t 是 P[x] 上的线性函数. 如果 V 是数域 P 上一个 n 维线性空间.取定 V 的一组基 n  , , , 1 2  .对 V 上任 意线性函数 f 及 V 中任意向量  ： n n  = x  + x  ++ x  1 1 2 2 都有   = = = = n i i i n i i i f f x x f 1 1 () (  ) ( ) . (2) 因此， f () 由 ( ), ( ), , ( ) 1 2 n f  f   f  的值唯一确定.反之，任给 P 中 n 个数 a a an , , , 1 2  ，用下式定义 V 上一个函数 f ：

这是一个线性函数,并且 f(s;)=a1,=1,2,…n 因此有 定理1设V是P上一个n维线性空间,51,E2…En是V的一组基 a1a2…an是P中任意n个数,存在唯一的V上线性函数∫使 f(E1)=a1,i=1,2,…n

  = = = n i i i n i i i f x a x 1 1 (  ) . 这是一个线性函数，并且 f ( i ) = ai ,i =1, 2,  ,n 因此有 定 理 1 设 V 是 P 上一个 n 维线性空间， n  , , , 1 2  是 V 的一组基， a a an , , , 1 2  是 P 中任意 n 个数，存在唯一的 V 上线性函数 f 使 f ( i ) = ai ,i =1, 2,  ,n