北京大学：《高等代数》课程（第三版）教学资源（讲义）第七章 线性变换（7.6）线性变换的值域与核

§6线性变换的值域与核 定义6设A是线性空间的一个线性变换,A的全体像组成的集合称为A 的值域,用V表示所有被变成零向量的向量组成的集合称为A的核,用 (0)表示 若用集合的记号则A={455∈Ⅳ},x(0)={|45=0,5∈} 线性变换的值域与核都是V的子空间 理V的维数称为A的秩,(0)的维数称为的零度 例1在线性空间Px]中,令 DCf(x))=f(x) 则的值域就是Pxn1,D的核就是子空间P 定理10设是n维线性空间V的线性变换,E1,E2…,En是V的一组基,在 这组基下A的矩阵是A,则 1)A的值域V是由基像组生成的子空间,即 =L(AE1,AE2,…,Asn) 2)A的秩=A的秩 定理10说明线性变换与矩阵之间的对应关系保持不变 定理11设A是n维线性空间的线性变换,则的一组基的原像及A-(0) 的一组基合起来就是V的一组基由此还有 的秩+的零度=n 推论对于有限维线性空间的线性变换,它是单射的充要条件是它是满射 虽然子空间A与A-(0)的维数之和为n,但是理V+-(0)并不一定是整 个空间 例2设A是一个n×n矩阵,A2=A证明A相似于一个对角矩阵

§6 线性变换的值域与核 定义 6 设 A 是线性空间 V 的一个线性变换，A 的全体像组成的集合称为 A 的值域，用 A V 表示.所有被 A 变成零向量的向量组成的集合称为 A 的核，用 A (0) −1 表示. 若用集合的记号则 A V =A | V,A (0) −1 = | A = 0, V 线性变换的值域与核都是 V 的子空间. A V 的维数称为 A 的秩，A (0) −1 的维数称为 A 的零度. 例 1 在线性空间 n P[x] 中，令 D ( f (x)) = f (x) 则 D 的值域就是 1 [ ] n− P x ，D 的核就是子空间 P . 定理 10 设 A 是 n 维线性空间 V 的线性变换， n  , , , 1 2  是 V 的一组基，在 这组基下 A 的矩阵是 A ，则 1） A 的值域 A V 是由基像组生成的子空间，即 A V = ( , , , ) L A 1 A 2 A n     2） A 的秩= A 的秩. 定理 10 说明线性变换与矩阵之间的对应关系保持不变. 定理 11 设A是 n 维线性空间 V 的线性变换，则A V 的一组基的原像及A (0) −1 的一组基合起来就是 V 的一组基.由此还有 A 的秩+A 的零度=n 推论 对于有限维线性空间的线性变换，它是单射的充要条件是它是满射. 虽然子空间 A V 与 A (0) −1 的维数之和为 n ，但是 A V +A (0) −1 并不一定是整 个空间. 例 2 设 A 是一个 nn 矩阵， A = A 2 证明 A 相似于一个对角矩阵

(1) 0 0

                      0 0 1 1 1   (1)