北京大学：《高等代数》课程（第三版）教学资源（讲义）第九章 欧几里得空间（9.5）子空间

§5子空间 定义10设V1,V2是欧氏空间V中两个子空间如果对于任意的a∈V1,B∈V2 恒有 (a,B) 则称VV2为正交的,记为V⊥V2一个向量a,如果对于任意的B∈V,恒有 则称a与子空间W正交,记为a⊥V 因为只有零向量与它自身正交,所以由H⊥V2可知∩2=} a⊥V12a∈V可知a=0 定理5如果子空间V1V2…V两两正交,那么和V+V2+…+V,是直和 定义11子空间V2称为子空间V的一个正交补,如果V⊥V2,并且 显然,如果V是V的正交补,那么V也是V的正交补 定理6n维欧氏空间V的每一个子空间V都有唯一的正交补 V的正交补记为V,由定义可知 维(V) 推论V恰由所有与V正交的向量组成 由分解式 =V⊕;4 可知,V中任一向量a都可以唯一分解成 a1+a2 其中∝1∈V1:a2∈V2称a1为向量a在子空间V上的内射影

§5 子空间 定义 10 设 1 2 V ,V 是欧氏空间 V 中两个子空间.如果对于任意的 1 2  V , V ， 恒有 (,  ) = 0 则称 1 2 V ,V 为正交的，记为 V1 ⊥V2 .一个向量  ，如果对于任意的  V1 ，恒有 (,  ) = 0 则称  与子空间 V1 正交，记为  ⊥V1 . 因为只有零 向量与它 自身正 交，所以 由 V1 ⊥V2 可知 V1 V2 = 0 ；由  ⊥V1 , V1 可知  = 0. 定理 5 如果子空间 V V Vs , , , 1 2  两两正交，那么和 V1 +V2 ++Vs 是直和. 定义 11 子空间 V2 称为子空间 V1 的一个正交补，如果 V1 ⊥V2 ，并且 V1 +V2 =V . 显然，如果 V2 是 V1 的正交补，那么 V1 也是 V2 的正交补. 定理 6 n 维欧氏空间 V 的每一个子空间 V1 都有唯一的正交补. V1 的正交补记为 ⊥ V1 ，由定义可知 维（ V1 ）+维（ ⊥ V1 ）=n 推论 ⊥ V1 恰由所有与 V1 正交的向量组成. 由分解式 ⊥ V = V1 V1 可知， V 中任一向量  都可以唯一分解成  =1 + 2 其中 1 1 2 2  V , V .称 1 为向量  在子空间 V1 上的内射影