《数学分析》课程电子教案（PPT课件）第十三章 重积分（13.3）重积分的变量代换

§3重积分的变量代换 曲线坐标 设U为v平面上的开集,V是x平面上开集,映射 T: x=x(u,v), y=y(u, v) 是U到v的一个一一对应,它的逆变换记为r:u=v(x,y),v=v(x,y) 在U中取直线u=4,就相应得到x平面上的一条曲线 x=x(uo, v),y=y(uo, v), 称之为ν-曲线;同样,取直线v=v,就相应得到xy平面上的n-曲线, x=x(u,vo),y=y(u,vo)

曲线坐标 设U 为uv平面上的开集，V 是xy平面上开集，映射 T: ( , ), ( , ) x = x uv y yuv = 是U 到V 的一个一一对应，它的逆变换记为T u uxy v vxy − = = 1: ( , ), ( , )。 在U 中取直线u u = 0，就相应得到xy平面上的一条曲线 x xu v y yu v = ( , ), ( , ) 0 0 = ， 称之为v -曲线；同样，取直线v v = 0 ，就相应得到xy平面上的u -曲线， x xuv y yuv = ( , ), ( , ) 0 0 = 。 §3 重积分的变量代换

§3重积分的变量代换 曲线坐标 设U为平面上的开集,V是x平面上开集,映射 T: x=x(u,v), y=y(u, v) 是U到v的一个一一对应,它的逆变换记为r:u=(x,y),v=v(x,y) 在U中取直线u=4,就相应得到x平面上的一条曲线 x=x(uo, v),y=y(uo, v), 称之为ν-曲线;同样,取直线v=v,就相应得到xy平面上的n-曲线, x=x(u,vo),y=y(u,vo) 由于映射T是一一对应的,因此V上的任意一点P既可以唯一地 用(x,y)表示,也可以唯一地用(v)表示。我们称u-曲线和v-曲线构 成了曲线坐标网,称(v,)为P的曲线坐标,而称T为坐标变换

由于映射T 是一一对应的，因此V 上的任意一点P 既可以唯一地 用(,) x y 表示，也可以唯一地用(,) u v 表示。我们称u -曲线和v -曲线构 成了曲线坐标网，称(,) u v 为P 的曲线坐标，而称T 为坐标变换。 §3 重积分的变量代换 曲线坐标 设U 为uv平面上的开集，V 是xy平面上开集，映射 T: ( , ), ( , ) x = x uv y yuv = 是U 到V 的一个一一对应，它的逆变换记为T u uxy v vxy − = = 1: ( , ), ( , )。 在U 中取直线u u = 0，就相应得到xy平面上的一条曲线 x xu v y yu v = ( , ), ( , ) 0 0 = ， 称之为v -曲线；同样，取直线v v = 0 ，就相应得到xy平面上的u -曲线， x xuv y yuv = ( , ), ( , ) 0 0 =

例如,在映射T:x=rcos,y=rsin下,θ-曲线是一族以原点 为圆心的同心圆,r-曲线是一族从原点出发的半射线,它们构成平 面上的极坐标网。(r,θ)为点P(x,y)的极坐标,T即为极坐标变换。 l曲线 u=u y-曲线 图13.3.1

例如，在映射T ： xr yr = cos , sin θ = θ 下，θ -曲线是一族以原点 为圆心的同心圆，r -曲线是一族从原点出发的半射线，它们构成平 面上的极坐标网。 r θ ),( 为点P (,) x y 的极坐标，T 即为极坐标变换。 v u u = 0 v v = 0 O u y u-曲线 v-曲线 O x 图 13.3.1

二重积分的变量代换 假设x=x(x),y=y(x)具有连续偏导数,且有xy)≠0,则由 (,v) 连续性可知xy在U上不变号。因此,对U中任意具有分段光滑边 界的有界闭区域D,记它的像为E=T(D)cV,则D的内点和边界分另 被映为E的内点和边界,同时,由于连通集的像也连通,所以E=T(D) 也是具有分段光滑边界的有界闭区域。在这样的假设下,有如下的二 重积分的变量代换公式

二重积分的变量代换 假设x = x( , ), ( , ) u v y = y u v 具有连续偏导数，且有 ),( ),( vu yx ∂∂ ≠ 0，则由 连续性可知 ),( ),( vu yx ∂∂ 在U 上不变号。因此，对U 中任意具有分段光滑边 界的有界闭区域D，记它的像为E = T( ) D ⊂V ，则D的内点和边界分别 被映为E 的内点和边界，同时，由于连通集的像也连通，所以 E = T( ) D 也是具有分段光滑边界的有界闭区域。在这样的假设下，有如下的二 重积分的变量代换公式

定理13.3.1(二重积分变量代换公式)映射T和区域D如上假 设。如果二元函数∫(xy)在T(D)上连续,则 ∫f(x,y)dxdy-/(x()y) la(x, y2dudv 显然,当f(xy)≡1时,由以上定理得 jyd=m7D)(即TD的面积 (l,v)

定理 13.3.1(二重积分变量代换公式) 映射 T 和区域 D如上假 设。如果二元函数 yxf ),( 在 T( ) D 上连续，则 ( ) (, ) ( , )d d ( ( , ), ( , )) d d (,) T x y f x y x y f xuv yuv u v u v ∂ = ∂ ∫∫ ∫∫ D D 。 显然，当 yxf ),( ≡ 1 时，由以上定理得 (, ) d d (,) x y u v u v ∂ ∂ ∫∫ D = mT( ) D (即 T( ) D 的面积)

定理的证明放到下一段,现在先来看一看 Jacobi行列式的几何意 义和应用。 图13.32 设T,D满足本节开始时的假定,(n,”)是区域D中的一点,σ是 包含此点的具有分段光滑边界的小区域,并记d(o)为o的直径(见图 13.32)

定理的证明放到下一段，现在先来看一看 Jacobi 行列式的几何意 义和应用。 v σ )( 00 , vu O u y T σ)( O x 图 13.3.2 设T ，D满足本节开始时的假定， ),( 00 vu 是区域D中的一点，σ 是 包含此点的具有分段光滑边界的小区域，并记d( ) σ 为σ 的直径（见图 13.3.2）

那么由定理13.3.1和重积分的中值定理得 la(x,2y2dudv a(x y m17()= ·mO (a(u, v)(r s) 其中(r,s)为a中一点。因此 mT(o)a(x Im d(o) au,v 或等价地 m)~/(x) ma(d(o)→>0) au, v) 这说明x的几何意义为面积的比例系数。 (2y)

那么由定理 13.3.1 和重积分的中值定理,得 (, ) () dd (, ) x y mT u v u v σ σ ∂ = ∂ ∫∫ (,) (, ) (, ) r s x y m u v σ ∂ = ⋅ ∂ ， 其中 sr ),( 为σ 中一点。因此 ),( 0)( 00 ),( ),()( lim vu d vu yx m mT ∂ ∂ = → σ σ σ ， 或等价地 mT σ )( ～ mσ vu yx vu ⋅ ∂ ∂ ),( 00 ),( ),( （d σ → 0)( ）。 这说明 ),( ),( vu yx ∂∂ 的几何意义为面积的比例系数

例13.3.1计算曲线(x-y)2+x2=a2(a>0)所围区域D的面积。 解作变换x=u,x-y=,则曲线方程对应于n2+y2=a2。 图13.3.3 这个变换将左边的圆盘u2+12≤a2一一对应地映为右边的椭圆区 域D。由于 (x,y)_10 d(u, v) 因此D的面积为 S=「dcdy= 1a(x, ydudv dudy= ta D +1-<a a(u,v) n2+y2≤a2

例 13.3.1 计算曲线() () xy x a a − += > 22 2 0 所围区域D的面积。 解 作变换x = u, x − y v = ，则曲线方程对应于uv a 22 2 + = 。 v uv a 22 2 + = u O y ( ) xy x a − += 22 2 x O 图 13.3.3 这个变换将左边的圆盘 222 ≤+ avu 一一对应地映为右边的椭圆区 域 D。由于 1 11 01 ),( ),( −= − = ∂ ∂ vu yx ， 因此D的面积为 222 222 2 (, ) d d dd dd π (,) uva uva x y S xy uv uv a u v + ≤ + ≤ ∂ = = = = ∂ ∫∫ ∫∫ ∫∫ D

例13.3.2求双曲线x=p,=q与直线y=ax,y=bx在第一象限 所围图形的面积,其中q>p>0,b>a>0。 q P V=axx 图13.3.4

例 13.3.2 求双曲线xy = p x , y = q与直线 y = ax， = bxy 在第一象限 所围图形的面积，其中q p ba >> >> 0 0 , 。 y xy q = xy p = y bx = y ax = D O x 图 13.3.4 v b a p q u

解在变换x=u,2=下,区域D被一一对应地映为 D={(u2)p≤v≤q,a≤v≤b},这时有x 于是 a(x, y) uy a(0 2 因此,所求面积为 dxdy \a(x, duds= dv=du[ - dv=i(q-p)lr a(u, v)

解 在变换xy u y x = = , v 下，区域D被一一对应地映为 1 D = {( , ) | , } uv p u qa v b ≤≤ ≤≤ ，这时有 v u x = ， = uvy ，于是 v v u u v v u uv vu yx 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 ),( ),( 3 = − = ∂ ∂ 。 因此，所求面积为 1 1 (, ) 1 1 1 1 d d d d d d d d ( )ln (,) 2 2 2 q b p a x y b x y uv uv u v q p uv v v a ∂ = = = =− ∂ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫ ∫ D D D