《数学分析》课程电子教案（PPT课件）第二章 数列极限（2.3）无穷大量

§3无穷大量 无穷大量 随着n的增大,通项的绝对值也无限地增大的数列称为无穷大 量,其严格的分析定义为: 定义2.3.1若对于任意给定的G>0,可以找到正整数N,使得 当n>N时成立 G 则称数列{x,}是无穷大量,记为 lim n→00

无穷大量 随着n 的增大，通项的绝对值也无限地增大的数列称为无穷大 量，其严格的分析定义为： 定义2.3.1 若对于任意给定的G > 0 ,可以找到正整数 N ，使得 当n > N 时成立 n x G> ， 则称数列｛ xn ｝是无穷大量，记为 lim n n x →∞ = ∞。 §3 无穷大量

§3无穷大量 无穷大量 随着n的增大,通项的绝对值也无限地增大的数列称为无穷大 量,其严格的分析定义为: 定义2.3.1若对于任意给定的G>0,可以找到正整数N,使得 当n>N时成立 G 则称数列{x,}是无穷大量,记为 lim n→00 符号表述法 “数列{xn}是无穷大量”:ⅤG>0,彐N,√n>N:|xn|>G

无穷大量 随着n 的增大，通项的绝对值也无限地增大的数列称为无穷大 量，其严格的分析定义为： 定义2.3.1 若对于任意给定的G > 0 ,可以找到正整数 N ，使得 当n > N 时成立 n x G> ， 则称数列｛ xn ｝是无穷大量，记为 lim n n x →∞ = ∞。 符号表述法 “数列{ xn }是无穷大量”：∀G > 0，∃ N ，∀ > n N ：｜xn｜> G。 §3 无穷大量

注 (1)与极限定义中ε表示任意给定的很小的正数相类似,这里 的G表示任意给定的很大的正数。 (2)如果无穷大量{x,}从某一项开始都是正的(或负的),贝 称其为正无穷大量(或负无穷大量),统称为定号无穷大量,分别记 为 imx=+∞(或limx,=-∞)。 n→) n→ 例如:{n2}是正无穷大量,{-10}是负无穷大量,而{(-2) 是(不定号)无穷大量

注 (1) 与极限定义中ε表示任意给定的很小的正数相类似，这里 的G 表示任意给定的很大的正数。 (2) 如果无穷大量｛ xn｝从某一项开始都是正的(或负的)，则 称其为正无穷大量(或负无穷大量)，统称为定号无穷大量，分别记 为 lim n n x →∞ = +∞ (或lim n n x →∞ = −∞ )。 例如：{n2 }是正无穷大量，{ n −10 }是负无穷大量，而｛( ) −2 n ｝ 是(不定号)无穷大量

例2.3.1设q1,证明{q”是无穷大量。 证G>1,取N=g,于是n>N,成立 IgG q>q mgll=g 因此{q}是无穷大量

例2.3.1 设 q > 1|| ，证明{ q n }是无穷大量。 证 ∀ > G 1，取 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = ||lg lg q G N , 于是 ∀ n N > ，成立 n q || ||lg lg || q G > q = G。 因此{ q n }是无穷大量

例2.3.1设q1,证明{q”是无穷大量。 证G>1,取N=gG,于是n>N,成立 IgG q|">q Igal=go 因此{q}是无穷大量。 例23.2证明 是正无穷大量 n+5 证当n>5时,有不等式 n+ 于是vG>0,取N=max{[2G],5},Vn>N,成立 n+ 因此{-是正无穷大量。 n+5

例2.3.2 证明 ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ + − 5 1 2 n n 是正无穷大量。 证 当 n > 5时，有不等式 n n 2 1 5 − + 2 n > ， 于是 ∀ G > 0，取 N = max{[ ], } 2 5 G , ∀ n N > ，成立 n n 2 1 5 − + 2 n > > G。 因此 ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ + − 5 1 2 n n 是正无穷大量。 例2.3.1 设 q > 1|| ，证明{ q n }是无穷大量。 证 ∀ > G 1，取 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = ||lg lg q G N , 于是 ∀ n N > ，成立 n q || ||lg lg || q G > q = G。 因此{ q n }是无穷大量

无穷大量与无穷小量之间的关系: 定理2.3.1设xn≠0,则{xn}是无穷大量的充分必要条件是 是无穷小量 证设{xn}是无穷大量,VE>0,取G=->0,于是彐N, yn>N:|xn1>G=-,从而0,取E=>0,于是3N Vnn: G,即{xn}是无穷大量。 证毕

无穷大量与无穷小量之间的关系： 定理2.3.1 设 x n≠0，则｛ x n ｝是无穷大量的充分必要条件是 ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ n x 1 是无穷小量。 证 设{ x n }是无穷大量， ∀ ε > 0 ，取 0 1 >= ε G ，于是 ∃ N ， ∀ > n N ： ｜ x n｜> G 1 ε = ，从而 n x 1 0，取 0 1 >= G ε ，于是 ∃ N ， ∀ > n N ： G，即｛ x n｝是无穷大量。 证 毕

关于无穷大量的运算性质: 同号无穷大量之和仍然是该符号的无穷大量,而异号无穷大量 之差是无穷大量,其符号与被减无穷大量的符号相同; 无穷大量与有界量之和或差仍然是无穷大量; 同号无穷大量之积为正无穷大量,而异号无穷大量之积为负无 穷大量

关于无穷大量的运算性质： 同号无穷大量之和仍然是该符号的无穷大量，而异号无穷大量 之差是无穷大量，其符号与被减无穷大量的符号相同； 无穷大量与有界量之和或差仍然是无穷大量； 同号无穷大量之积为正无穷大量，而异号无穷大量之积为负无 穷大量

定理232设{xn}是无穷大量,若当n>N时,n|≥6>0 成立,则{xy}是无穷大量 推论设{x}是无穷大量,imyn=b≠0,则{x}与{一}都是 无穷大量

定理2.3.2 设{ }n x 是无穷大量，若当 > Nn 0 时, yn δ >≥ 0 成立，则{ } n n x y 是无穷大量。 推论 设{ }n x 是无穷大量，lim 0 n n y b →∞ = ≠ ，则{ } n n x y 与 ⎭⎬⎫ ⎩⎨⎧ nn yx 都是 无穷大量

定理232设{xn}是无穷大量,若当n>N时,n|≥6>0 成立,则{xy}是无穷大量 推论设{x}是无穷大量,imyn=b≠0,则{x}与{一}都是 无穷大量。 例题 im(10″+√n)=+∞, lim n-lg + n→ lim narc tann=+00, lin n→Sinn

定理2.3.2 设{ }n x 是无穷大量，若当 > Nn 0 时, yn δ >≥ 0 成立，则{ } n n x y 是无穷大量。 推论 设{ }n x 是无穷大量，lim 0 n n y b →∞ = ≠ ，则{ } n n x y 与 ⎭⎬⎫ ⎩⎨⎧ nn yx 都是 无穷大量。 例题： lim n→∞ ( n n 10 + )= +∞， lim n→∞ ⎟⎠⎞ ⎜⎝⎛ − n n 1 lg = +∞， lim n→∞ tanarc nn = +∞， lim n→∞ n sinn = ∞

例2.3.3讨论极限 lim on+an+.+ak-n+a bn+6 6,n+6 其中k,l为正整数,a0≠0,b≠0。 a+—+ 解 an+a1n+…+a,1n+a +bn+…+b1n+b b 1 -1 由于 an++…+ lin ≠0 可以得到 0,kl

例2.3.3 讨论极限 limn→∞ an an a n a bn bn b n b k k k k l l l l 0 1 1 1 0 1 1 1 + ++ + + ++ + − − − − " " ， 其中k l ， 为正整数， a0 ≠ 0，b0 ≠ 0。 解 an an a n a bn bn b n b k k k k l l l l 0 1 1 1 0 1 1 1 + ++ + + ++ + − − − − " " = + ++ + + ++ + − − − − − n a a n a n a n b b n b n b n k l k k k k l l l l 0 1 1 1 0 1 1 1 " " 。 由于 limn→∞ 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 0 k k k k l l l l a a a a a n nn b b b b b n nn − − − − +++ + = ≠ +++ + " " ， 可以得到 limn→∞ an an a n a bn bn b n b k k k k l l l l 0 1 1 1 0 1 1 1 + ++ + + ++ + − − − − " " ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ >∞ = < = ., ,, ,,0 0 0 lk lk b a lk