《数学分析》课程电子教案（PPT课件）第二章 数列极限（2.2）数列极限

§2数列极限 数列与数列极限 数列是指按正整数编了号的一串数: X,x 通常表示成{xn},其中x称为该数列的通项

§2 数列极限 数列与数列极限 数列是指按正整数编了号的一串数： xx x 1 2 n ,,,, " "， 通常表示成{ xn }，其中 xn称为该数列的通项

§2数列极限 数列与数列极限 数列是指按正整数编了号的一串数: x1,x2,…xn 通常表示成{xn},其中x称为该数列的通项。 数列的例子 n+3 n+3 {n}:1,4,9,…,n,¨ (-1y}:-1,1

数列的例子： ⎭⎬⎫ ⎩⎨⎧n1 : 1, 12 , 13 , …， 1n ,…； ⎭⎬⎫ ⎩⎨⎧n + 3 n : 14 , 25 , 36 , …， n n + 3 ,…； { }2 n : 1, 4, 9, …，n2 ,…； { }n − )1( : -1, 1, -1, 1, …，( ) −1 n ，…。 数列与数列极限 数列是指按正整数编了号的一串数： xx x 1 2 n ,,,, " "， 通常表示成{ xn }，其中 xn称为该数列的通项。 §2 数列极限

注尽管数列与数集的记号是类似的,但两者的概念是有区别 的。在数集中,元素之间没有次序关系,所以重复出现的数看成是 同一个元素;但在数列中,每一个数都有确定的编号,前后次序不 能颠倒,重复出现的数不能随便舍去。 中国古代数学家早就具有朴素的极限思想。他们为了求圆周率 π(即圆的周长与直径之比),采用单位圆的内接正n边形的半周长 Ln去逼近它。就如刘徽所说:“割之弥细,所失弥少;割之又割, 以至于不可割,则与圆周合体而无所失矣

注 尽管数列与数集的记号是类似的，但两者的概念是有区别 的。在数集中，元素之间没有次序关系，所以重复出现的数看成是 同一个元素；但在数列中，每一个数都有确定的编号，前后次序不 能颠倒，重复出现的数不能随便舍去。 中国古代数学家早就具有朴素的极限思想。他们为了求圆周率 π（即圆的周长与直径之比），采用单位圆的内接正n边形的半周长 L n去逼近它。就如刘徽所说：“割之弥细，所失弥少；割之又割， 以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣

极限的定义 定义2.2.1设{xn}是一给定数列,a是一个实常数。如果对 于任意给定的ε>0,可以找到正整数N,使得当n>N时,成立 a(n→∞)。 如果不存在实数a,使{xn}收敛于a,则称数列{xn}发散

极限的定义 定义2.2.1 设{ } xn 是一给定数列，a 是一个实常数。如果对 于任意给定的ε > 0，可以找到正整数 N ，使得当n > N 时，成立 ｜ xn − a｜< ε ， 则称数列{ } xn 收敛于a（或a是数列{ } xn 的极限），记为 lim n→∞ xn = a， 有时也记为 xn → a (n → ∞ )。 如果不存在实数a ,使{ xn }收敛于a ,则称数列{ } xn 发散

注 (1)取以a为中心,为半径的一个开区间(a-s,a+E),称 它为点a的g邻域,记为O(a,E) O(a, a=xa-8N时,成立|xn-a|N

注 （1）取以a 为中心，ε 为半径的一个开区间 − ε aa + ε ),( ，称 它为点a 的ε 邻域，记为 aO ε ),( ： aO ε ),( = |{ − ε N 时，成立｜ xn − a｜

注 (1)取以a为中心,E为半径的一个开区间(a-6,a+),称 它为点a的g邻域,记为O(a,E) O(a,E)={xa-EN时,成立|x-a|N。 由于ε具有任意性,也就是说邻域O(a,)的长度可以任意收 缩。但不管收缩得多么小,数列一定会从某一项起全部落在这个 邻域中,所以不难理解,a必为这个数列的极限值

由于ε 具有任意性，也就是说邻域 aO ε ),( 的长度可以任意收 缩。但不管收缩得多么小，数列一定会从某一项起全部落在这个 邻域中，所以不难理解，a 必为这个数列的极限值。 注 （1）取以a 为中心，ε 为半径的一个开区间 − ε aa + ε ),( ，称 它为点a 的ε 邻域，记为 aO ε ),( ： aO ε ),( = |{ − ε N 时，成立｜ xn − a｜

注 (2)在上述的定义中,E既是任意的,又是给定的。因为 有当ε确定时,才能找到相应的正整数N

注 （2）在上述的定义中，ε 既是任意的，又是给定的。因为只 有当ε 确定时，才能找到相应的正整数 N

注 (2)在上述的定义中,E既是任意的,又是给定的。因为 有当ε确定时,才能找到相应的正整数N。 (3)从极限的定义可知,一个数列{xn}收敛与否,收敛于哪 个数,与这一数列的前面有限项无关。也就是说,改变数列前面 的有限项,不影响数列的收敛性

（3）从极限的定义可知，一个数列{ } x n 收敛与否，收敛于哪 个数，与这一数列的前面有限项无关。也就是说，改变数列前面 的有限项，不影响数列的收敛性。 注 （2）在上述的定义中， ε 既是任意的，又是给定的。因为只 有当 ε 确定时，才能找到相应的正整数 N

例221证明数列"的极限为 n+3 证对任意给定的ε>0,要使 n+3 n+3 只须 n>--3 取N-[31+1,其中冈表示x的整数部分,则当n>N时,必 有n>2-3,于是成立 <8 n+3 +3

例2.2.1 证明数列 ⎭⎬⎫ ⎩⎨⎧n + 3 n 的极限为1。 证 对任意给定的ε > 0，要使 1 3 − n + n = + 3 n 3 ε n 。 取 1 3 +⎥⎦⎤ ⎢⎣⎡ = ε N ,其中 x][ 表示 x 的整数部分，则当n > N 时，必 有 3 n 3 ε > − ，于是成立 1 3 − n + n = + 3 n 3 < ε

显然,下面两数列 {n2}:1,4,9 {(-1)2}:-1,1,-1,1 是发散数列

显然，下面两数列 { n 2 }： 1，4，9，…， n 2 ,… {( ) − 1 n }: -1,1,-1,1,… 是发散数列