《数学分析》课程电子教案（PPT课件）第三章 函数极限与连续函数（3.3）无穷小量与无穷大量的阶

§3无穷小量与无穷大量的阶 无穷小量的比较 定义3.3.1若limf(x)=0,则称当x→x时f(x)是无穷小量 x→x0 无穷小量是以零为极限的变量。这里的极限过程x→x可以扩 充到x→x+、x-、∞、+∞0、-∞等情况

§3 无穷小量与无穷大量的阶 无穷小量的比较 定义3.3.1 若 lim x x → 0 f x() 0 = ，则称当 x → x0时 f x( ) 是无穷小量 。 无穷小量是以零为极限的变量。这里的极限过程 x → x0 可以扩 充到 0 x x → + 、 0 x − 、 ∞ 、 + ∞ 、 − ∞等情况

§3无穷小量与无穷大量的阶 无穷小量的比较 定义3.3.1若limf(x)=0,则称当x→x时f(x)是无穷小量。 无穷小量是以零为极限的变量。这里的极限过程x→x可以扩 充到x→x+、x-、、+、-等情况。 设u(x),v(x)是两个变量,当x→x时,它们都是无穷小量。为 了比较两者趋于零的速度快慢,我们讨论的极限情况 v(X

§3 无穷小量与无穷大量的阶 设u x( ) ,v x( ) 是两个变量，当 x → x0 时，它们都是无穷小量。为 了比较两者趋于零的速度快慢，我们讨论 u x v x ( ) ( ) 的极限情况： 无穷小量的比较 定义3.3.1 若 lim x x → 0 f x() 0 = ，则称当 x → x0时 f x( ) 是无穷小量 。 无穷小量是以零为极限的变量。这里的极限过程 x → x0 可以扩 充到 0 x x → + 、 0 x − 、 ∞ 、 + ∞ 、 − ∞等情况

(1)若m2(=0,则称当x→x时,(x)关于m(是高阶无 x→x v(x 穷小量(或v(x)关于u(x)是低阶无穷小量),记为 (x)=o(v(x)(x→x0)

( 1 ) 若 lim x x → 0 ( ) 0 ( ) u x v x = ，则称当 x → x0时， u( ) x 关于 v( ) x 是高阶无 穷小量（或 v( ) x 关于 u( ) x 是低阶无穷小量），记为 u x( ) =ovx ( ( )) （ x → x0）

(1)若Im2(=0,则称当x→x时,(x)关于m(是高阶无 x+xo v(x) 穷小量(或v(x)关于u(x)是低阶无穷小量),记为 (x)=o(v(x))(x 例如 2 sin COSX lim lin 0可表示为 x x 1-cosx=0(x)(x→0)。 lim tan x-sin x =im six.1-x=0可表示为 x→0 x→)0 X cOSx tan x-sinx=o(x)(x>0)

例如 lim x→0 1− cos x x = lim x→0 2 2sin 2 0 x x = 可表示为 1 cos − x = o x( )（ x → 0 ）。 lim x→0 2 tan sin x x x − 0 lim x→ = sin 1 cos 0 cos x x xx x ⎛ ⎞ − ⎜ ⎟ ⋅ = ⎝ ⎠ 可表示为 tan x -sin x = 2 o x( ) ( x → 0 ) 。 (1) 若 lim x x → 0 ( ) 0 ( ) u x v x = ，则称当 x → x0时，u( ) x 关于v( ) x 是高阶无 穷小量（或v( ) x 关于u( ) x 是低阶无穷小量），记为 u x( ) =ovx ( ( ))（ x → x0）

(2)若存在A>0,当x在x0的某个去心邻域中,成立 <A vx 则称当x→x,时,2是有界量,记为 v(x) (x)=O(v(x)(x→x0)

( 2 ) 若存在 A > 0 ，当 x 在 x0的某个去心邻域中，成立 ( ) ( ) u x A v x ≤ ， 则称当 x → x0时， u x v x( ) ( ) 是有界量，记为 u x( ) = Ovx ( ( )) ( x → x0 )

(2)若存在A>0,当x在x0的某个去心邻域中,成立 0时,xsin1与x都是无穷小量,且 ≤1,所以 xsin-=O(x)(x→>0)

例如 当 x → 0时, 1 x sin x 与 x都是无穷小量，且 1 sin 1 x x x ≤ ，所以 1 x sin x = O x( ) ( x → 0 )。 (2) 若存在 A > 0 ，当 x在 x0的某个去心邻域中，成立 ( ) ( ) u x A v x ≤ ， 则称当 x → x0时， u x v x( ) ( ) 是有界量，记为 u x( ) = Ovx ( ( )) ( x → x0 )

若又存在a>0,当x在xn的某个去心邻域中,成立 u(x) a≤ <A v(x 则称当x→x时,u(x)与v(x)是同阶无穷小量。 显然,若lm(x)=c≠0,则(x)与(x必是同阶无穷小量。 x→x0v(x)

若又存在a > 0，当x在 x0的某个去心邻域中，成立 ( ) ( ) u x a A v x ≤ ≤ ， 则称当x → x0时，u x( ) 与v( ) x 是同阶无穷小量。 显然，若 lim x x → 0 ( ) 0 ( ) u x c v x = ≠ ，则u x( ) 与v( ) x 必是同阶无穷小量

(3)若 u(x l,称当x→x时,u(x)与v(x)是等价无穷小量 x+0 v(x) 记为 x→)x 上式也可写成 u(x)=v(x)+o(v(x))(x>xo) 它表示当x→x时,u(x)与v(x)并不一定相等,两者相差一个关于v(x) 的高阶无穷小量

(3) 若 lim x x → 0 ( ) 1 ( ) u x v x = ，称当 x → x0时，u x( ) 与v( ) x 是等价无穷小量， 记为 u x( ) ～v( ) x ( x → x0 ) 上式也可写成 u x( ) =v( ) x +ovx ( ( )) ( x → x0 )， 它表示当 x → x0时，u x( ) 与v( ) x 并不一定相等，两者相差一个关于v( ) x 的高阶无穷小量

例如 sInx Im 1可表示为 x→少0x sinx~x(x→>0),或者sinx=x+o(x)(x>0) 2 sin COSX Im im—2=1可表示为 2 1-92x(x→>0),或者1-cosx=2x2+o(x2)(x→0); tanx - x COS X lim =lim/sinx 1可表示为 x→)0 x→0 x cos x tanx=sx~2x(x→>0),或者tanx-sin2+3+ox)(x→0)

例如 limx → 0 sin x x = 1可表示为 sin x ∼ x ( x → 0 ) , 或者 sin x = x + o x( ) ( x → 0 )； lim x → 0 1 1 2 2 − cos x x = lim x → 0 2 2 2sin 2 1 2 x x = 可表示为 1 cos − x ～ 1 2 2 x ( x → 0 ), 或者 1 cos − x = 1 2 2 x + 2 o x( ) ( x → 0 ) ； lim x →0 3 tan sin 1 2 x x x − = lim x →0 2 sin 1 cos 1 cos 2 x x x x x ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ ⋅ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 可表示为 tan sin x x − ～ 1 2 3 x ( x → 0 ), 或者 tan sin x x − = 1 2 3 x + 3 o x( ) ( x → 0 )

注记号“o”、“O”和“~”都是相对于一定的极限过程的, 般来说,在使用时应附上记号“(x→x)”,以说明相应的极限过程。 只有在意义明确,不会发生误解的前题下才能省略

注 记号“ o”、“ O”和“～”都是相对于一定的极限过程的， 一般来说，在使用时应附上记号 “ ( x → x0 )”，以说明相应的极限过程。 只有在意义明确，不会发生误解的前题下才能省略