《数学分析》课程电子教案（PPT课件）第七章 定积分（7.4）定积分在几何计算中的应用

§4定积分在几何计算中的应用 应用一元函数的定积分可解决求平面图形的面积、求曲线的弧长 求某些特殊的几何体的体积、求旋转曲面的面积等等类型的问题

应用一元函数的定积分可解决求平面图形的面积、求曲线的弧长、 求某些特殊的几何体的体积、求旋转曲面的面积等等类型的问题。 §4 定积分在几何计算中的应用

§4定积分在几何计算中的应用 应用一元函数的定积分可解决求平面图形的面积、求曲线的弧长 求某些特殊的几何体的体积、求旋转曲面的面积等等类型的问题。 求平面图形的面积 考虑由连续曲线y=f(x),直线 y=f() + x=a,x=b和y=0(即x轴)所围区域 的面积。 当f(x)>0时,面积为∫f(x)dx 当f(x)<0时,面积为∫[/(xdx 图74.1 当f(x)在区间[a,b上不保持定号 时,所要求的面积(如图7.4.1中的阴影部分的面积)应为 f(x)dx

求平面图形的面积 考虑由连续曲线 y fx = ( ) ，直线 x = a ，x = b和 y = 0（即 x 轴）所围区域 的面积。 当 f x( ) > 0时，面积为 ( )d b a f x x ∫ ； 当 f x( ) < 0时，面积为 [ ( )]d b a − f x x ∫ 。 当 xf )( 在区间 ba ],[ 上不保持定号 时，所要求的面积（如图 7.4.1 中的阴影部分的面积）应为 | ( ) |d b a S fx x = ∫ 。 §4 定积分在几何计算中的应用 应用一元函数的定积分可解决求平面图形的面积、求曲线的弧长、 求某些特殊的几何体的体积、求旋转曲面的面积等等类型的问题。 a c b

夹在连续曲线y=f(x)和y=g(x)之间, 左右由直线x=a,x=b界定的那部分区域 的面积(图7.4.2)为 S= If(x)-g(x)ld g(r) 图7.4.2

夹在连续曲线 y fx = ( )和 y gx = ( )之间， 左右由直线 x a = ， x = b 界定的那部分区域 的面积(图 7.4.2)为 | () () | d b a S = − f x g x x ∫

夹在连续曲线y=f(x)和y=g(x)之间, f(r) 左右由直线x=a,x=b界定的那部分区域 的面积(图7.4.2)为 S= If(x)-g(x)ld g(r) 例74.1计算由曲线y=x2和x=y2 图7.4.2 所围区域的面积。 4y 解曲线y=x2和x=y2的交点坐标 =X 为(00)和(1),而当x∈0,√x≥x2(图 y=√x 7.4.3) 因此,所求的面积为 )d x 图7.4.3

例 7.4.1 计算由曲线 y x = 2和x y = 2 所围区域的面积。 解 曲线 y x = 2 和 x y = 2 的交点坐标 为 (,) 0 0 和 (,) 11 ，而当 x ∈[ ,] 0 1 ， x x ≥ 2 (图 7.4.3)， 因此，所求的面积为 1 2 0 ( )d x − x x ∫ 31 31 32 1 0 3 ⎟ = ⎠⎞ ⎜⎝⎛ −= xxx 。 夹在连续曲线 y fx = ( )和 y gx = ( )之间， 左右由直线 x a = ， x = b 界定的那部分区域 的面积(图 7.4.2)为 | () () | d b a S = − f x g x x ∫

例7.4.2设(x,y)是等轴双曲线x2-y2=1上的任意一点,求由 双曲线与连接点(x,y)和原点的线段,连接点(x,-y)和原点的线段所 围成的曲边三角形的面积t(图7.4.4)。 图7.4.4

例 7.4.2 设(, ) x y 是等轴双曲线x y 2 2 − = 1上的任意一点，求由 双曲线与连接点(, ) x y 和原点的线段，连接点(, ) x y − 和原点的线段所 围成的曲边三角形的面积t (图 7.4.4)

例7.4.2设(x,y)是等轴双曲线x2-y2=1上的任意一点,求由 双曲线与连接点(x,y)和原点的线段,连接点(x,-y)和原点的线段所 围成的曲边三角形的面积t(图7.4.4)。 解不妨设x>0, t=2/ u'-ldu=xy-lxvx2-1-In x+vx 2 xy-xy+In (x+y)=In(x+y) 由此得到x+y=e,由于x2-y2=1, 两式相除便有x-y=e,于是解得 e+e cht sht 图7.4.4

解 不妨设 x > 0， t = 2 2 1 1d 2 xy x u u ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − − ⎝ ⎠ ∫ ( |1|ln1 ) 2 2 xxxxxy −+−−−= = − xy xy x y + ln ( ) + = ln ( ) x y + 。 由此得到 x y t + = e ，由于 x y 2 2 − = 1， 两式相除便有x y t − = − e ，于是解得 x t y t t t t t = + = = − = ⎧ ⎨ ⎪⎪ ⎩ ⎪⎪ − − e e ch e e sh 2 2 ， 。 例 7.4.2 设(, ) x y 是等轴双曲线x y 2 2 − = 1上的任意一点，求由 双曲线与连接点(, ) x y 和原点的线段，连接点(, ) x y − 和原点的线段所 围成的曲边三角形的面积t (图 7.4.4)

注我们知道三角函数又统称为圆函数,这是因为,若在单位圆 上取点(x,y)和(x,-y),类似地考虑由圆弧与连接点(x,y)和原点的线 段,连接点(x,-y)和原点的线段所围成的扇形(图7.4.5),设扇形的 面积为t,则有熟知的结论 x= cost y=sint 两相比较,就不难明白,为什么要把 y=shx、y=chx统称为双曲函数,并分别冠以 双曲正弦和双曲余弦的名称 图7.4.5

注 我们知道三角函数又统称为圆函数，这是因为，若在单位圆 上取点(, ) x y 和(, ) x y − ，类似地考虑由圆弧与连接点(, ) x y 和原点的线 段，连接点(, ) x y − 和原点的线段所围成的扇形(图 7.4.5)，设扇形的 面积为t ，则有熟知的结论 x t y t = = ⎧⎨⎩ cos sin ，。 两相比较，就不难明白，为什么要把 y xy x = = sh ch 、 统称为双曲函数，并分别冠以 双曲正弦和双曲余弦的名称

若y=f(x),x∈[a,b]是用参数形式 x=x(t y=y(t), [71272] 表达的,x(1)在,n2]上具有连续导数,且x(1)≠0。那么用换元法可以 证明,由连续曲线y=f(x),直线x=a,x=b和y=0(即x轴)所围 区域的面积为 S= lyor(oldt

若 y f = ( ) x ， x ∈[,] a b 是用参数形式 x xt y yt t TT = = ⎧ ⎨ ⎩ ∈ ( ), ( ), [, ] 1 2 表达的， tx )( 在 ],[ TT 21 上具有连续导数，且 ′ tx ≠ 0)( 。那么用换元法可以 证明，由连续曲线 y fx = ( )，直线 x = a ， x = b 和 y = 0（即 x 轴）所围 区域的面积为 2 1 | ( ) ( )|d T T S yt x t t = ′ ∫

例74.3求椭圆+=1的面积。 解利用对称性,只求第一象限的那一块面积(图 7.4.6)。将椭圆写成参数方程形式 x= a cos t y bsin t 则当x从0变到a时,t从变到0,所以 ab, sint( cost),dt =ab sin'tdt=ab a x =Tab。 图746

例 7.4.3 求椭圆 x a y b 2 2 2 2 + = 1的面积。 解 利用对称性，只求第一象限的那一块面积(图 7.4.6)。将椭圆写成参数方程形式 xa t yb t = = ⎧⎨⎩ cos , sin , 则当 x 从 0 变到a时，t 从 π2 变到 0，所以 π 2 0 sin (cos ) d 4S = ab t t t ′ ∫ π2 2 0 = ab t t sin d ∫ = π4 ab， 即 S ab = π 。 图7.4.6 y b xa

例7.4.4求旋轮线(摆线) x=a(t-sin*) y=a1-ct∈[0,2r]与x轴所围 区域的面积(图7.4.7)。 解S=a2(-cos1)at=a2[。1-2cos+ 1+cos 2t dt= 3ta2 0 图747

例 7.4.4 求旋轮线（摆线） x at t ya t t = − = − ⎧⎨⎩ ∈ ( sin ), ( cos ), [, ] 1 0 2π 与 x 轴所围 区域的面积(图 7.4.7)。 解 2π 2 2 0 Sa t t = − (1 cos ) d ∫ 2π 2 0 1 cos 2 1 2cos d 2 t at t ⎛ ⎞ + = −+ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∫ = 3 2 πa 。 0 x y a 图7.4.7