《数学分析》课程电子教案（PPT课件）第九章 数项级数（9.5）无穷乘积

§5无穷乘积 无穷乘积的定义 设p1,p2,…,pn,…(pn≠0)是无穷可列个实数,我们称它 们的“积” P1·P2 P 为无穷乘积,记为∏Pn,其中pn称为无穷乘积的通项或一般项

无穷乘积的定义 设 p1，p2，…， n p ，…（ ≠ 0 n p ）是无穷可列个实数，我们称它 们的“积” ⋅ 21 ⋅ ⋅ ppp n ⋅"" 为无穷乘积，记为∏ ∞ n=1 pn ，其中 n p 称为无穷乘积的通项或一般项。 §5 无穷乘积

与级数相类似,需要对上述的无穷乘积给出合理的定义。为此构 作无穷乘积∏Pn的“部分积数列”{Pn} P1 P2=p1·P2 B3=p1·p2·p3y P=p,. p2 Pn=∏

与级数相类似，需要对上述的无穷乘积给出合理的定义。为此构 作无穷乘积 ∏ ∞ n =1 p n 的“部分积数列”｛ Pn｝： P1 = 1 p ， P2 = pp 21 ⋅ ， P3 = ppp 321 ⋅ ⋅ ， … Pn = ppp n ⋅ ⋅"⋅ 21 = ∏= n k k p 1 ， …

定义9.5.1如果部分积数列{P}收敛于一个非零的有限数P, 则称无穷乘积∏Pn收敛,且称P为它的积,记为 如果{Pn}发散或{P}收敛于0,则称无穷乘积∏P发散

定义 9.5.1 如果部分积数列｛Pn｝收敛于一个非零的有限数 P， 则称无穷乘积∏ ∞ n=1 pn 收敛，且称 P 为它的积，记为 ∏ ∞ n=1 pn = P 。 如果｛Pn｝发散或｛Pn｝收敛于 0，则称无穷乘积∏ ∞ n=1 pn 发散

定义9.5.1如果部分积数列{P}收敛于一个非零的有限数P, 则称无穷乘积∏Pn收敛,且称P为它的积,记为 如果{Pn}发散或{P}收敛于0,则称无穷乘积∏P发散。 注意:当imP=0时,我们称无穷乘积∏Pn发散于0,而不是 收敛于0。在学习了无穷乘积收敛的充分必要条件后将会知道,它使 无穷乘积的收敛性与无穷级数的收敛性统一起来

注意：当 n n P ∞→ lim = 0 时，我们称无穷乘积∏ ∞ n=1 pn 发散于 0，而不是 收敛于 0。在学习了无穷乘积收敛的充分必要条件后将会知道，它使 无穷乘积的收敛性与无穷级数的收敛性统一起来。 定义 9.5.1 如果部分积数列｛Pn｝收敛于一个非零的有限数 P， 则称无穷乘积∏ ∞ n=1 pn 收敛，且称 P 为它的积，记为 ∏ ∞ n=1 pn = P 。 如果｛Pn｝发散或｛Pn｝收敛于 0，则称无穷乘积∏ ∞ n=1 pn 发散

定理95.1如果无穷乘积∏Pn收敛,则 n→) m n=m+1 证设∏P的部分积数列为{P},则 n=1 lim p=lir n→∞P P ∏pn=lim n→ P

定理 9.5.1 如果无穷乘积∏ ∞ n=1 pn 收敛，则 (1) lim n→∞ Pn = 1； (2) m ∞→ lim ∏ ∞ mn += 1 pn = 1。 证 设∏ ∞ n=1 pn 的部分积数列为｛Pn｝，则 lim n→∞ pn =lim n→∞ n−1 n P P = 1； m ∞→ lim ∏ ∞ mn += 1 pn = m ∞→ lim ∏ ∏ = ∞ = m n n n n p p 1 1 =1

为方便起见,我们常把pn记为1+an,则定理9.5.1的(1)又可表 达为:如果无穷乘积∏(+an)收敛,则iman=0。 定理951的(1)可类比于级数收敛的必要条件:通项趋于0。作 为无穷乘积收敛的必要条件,它可以用于判断某些无穷乘积的发散。 例如,设pn2n+1 n ÷2n n 2 则无穷乘 n+1 2n+1 n+ 积∏pn,∏qn,∏都是发散的

为方便起见，我们常把 n p 记为 1 + an ，则定理 9.5.1 的(1)又可表 达为：如果无穷乘积∏ ∞ = + 1 )1( n an 收敛，则lim n→∞ an = 0。 定理 9.5.1 的(1)可类比于级数收敛的必要条件：通项趋于 0。作 为无穷乘积收敛的必要条件，它可以用于判断某些无穷乘积的发散。 例如，设 pn= n +12 n ，qn = 1 2 n + n ，r2n = n +12 n ， n−12r = 1 2 n + n ，则无穷乘 积∏ ∞ n=1 n p ，∏ ∞ n=1 n q ，∏ ∞ n=1 nr 都是发散的

例9.5.1设p (n=1,2,…),则部分积 n+1 门(k)= k 234n+1 n+ 由mP=0,可知无穷乘积∏I1 发散于0 n+1

例 9.5.1 设 p n = 1 1 1 + − n （ n = 1，2，…），则部分积 Pn = ∏= ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − n k 1 k 1 1 1 = ∏= + n k k k 1 1 = 14 3 3 2 2 1 + ⋅⋅⋅⋅ n n " = 1 1 n + ， 由 n n P ∞→ lim = 0，可知无穷乘积 ∏ ∞ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − 1 1 1 1 n n 发散于 0

例9.5.2设pn=1-2,n=1,2,…,则部分积 2m) (2k-1)(2k+1) 2k) 2k·2k 1·3·3·5·5·7…(2n-1)(2n+ 2·2.44.6·6…(2n)(2n) 2n-1)! (2n+1) [(2n) 为了判断部分积数列{P}的收敛性,考虑积分 sin"xdx, 由例73.8,我们知道 n (2n)川! (2n)!! n

例 9.5.2 设 p n = 2 )2( 1 1 n − ，n = 1,2,…，则部分积 Pn = ∏= ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − n k 1 k 2 )2( 1 1 = ∏= ⋅ +− n k kk kk 1 22 )12)(12( = )2)(2(664422 )12)(12(755331 nn nn " " ⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − + = 2 2 ]!)!2[( ]!)!12[( n n − ⋅ n + )12( 。 为了判断部分积数列｛ Pn｝的收敛性，考虑积分 I n = π 2 0 sin d n x x ∫ ， 由例 7.3.8，我们知道 n I 2 = ⋅ − !)!2( !)!12( n n π 2 ， n +12 I = !)!12( !)!2( n + n

因此 P 由于21<12<l2n,可得 1< 因为 I lim =-=lm2n+1=1,由数列极限的夹逼性, n→ 2 lim p=lim T 于是得到无穷乘积∏|1 的收敛性,并且 2n)

因此 π 2 Pn = 12 2 n + n I I 。 由于 I n +12 < I 2 1 n < 2 n − I ，可得 << +12 2 1 n n I I 12 12 + − n n I I ， 因为 n ∞→ lim 12 12 + − n n I I = n ∞→ lim n n 2 +12 = 1，由数列极限的夹逼性， limn→∞ Pn = limn→∞ 2 2 1 2 π n n I I + ⎛ ⎞ ⋅ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ = 2 π ， 于是得到无穷乘积 ∏ ∞ = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − 1 2 )2( 1 1 n n 的收敛性，并且 ∏ ∞ = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − 1 2 )2( 1 1 n n = 2 π

将上式换一个形式表示,就得到著名的 Wallice公式 丌224466 2n 2n 335572n-12n+1

将上式换一个形式表示，就得到著名的 Wallice 公式 π 2 = ⋅ 1 2 ⋅ 3 2 ⋅ 3 4 ⋅ 5 4 ⋅ 5 6 ⋅" 7 6 ⋅ − ⋅ 12 2 n n ⋅" +12 2 n n