《数学分析》课程电子教案（PPT课件）第十二章 多元函数的微分学（12.6）无条件极值

§6无条件极值 无条件极值 定义12.6.1设D∈R"为开区域,f(x)为定义在D上的函数, =(x,x2…,x)∈D。若存在x的邻域O(xn),使得 f(x0)≥f(x)(或∫(x0)≤f(x),x∈O(x0,r), 则称x为f的极大值点(或极小值点);相应地,称f(x)为相应的极 大值(或极小值);极大值点与极小值点统称为极值点,极大值与极 小值统称为极值

无条件极值 定义 12.6.1 设 D n R 为开区域， f (x)为定义在 D 上的函数， 0 x ( , , , ) 0 0 2 0 1 n = x x  x D。若存在 0 x 的邻域 ( , ) 0 O x r ，使得 ( ) ( ) ( ( ) ( )), f x0  f x 或 f x0  f x x  ( , ) 0 O x r ， 则称 0 x 为 f 的极大值点（或极小值点）；相应地，称 ( ) x0 f 为相应的极 大值（或极小值）；极大值点与极小值点统称为极值点，极大值与极 小值统称为极值。 §6 无条件极值

先考察一个点为极值点的必要条件 定理12.6.1(必要条件)设x为函数f的极值点,且f在x点 可偏导,则∫在x点的各个一阶偏导数都为零,即 f2(x0)=∫2(x0)=…=f2(x)=0。 证只证明f(x)=0,其他类似。考虑一元函数 qp(x1)=f(x1,x2,…,xn), 则x是g(x)的极值点。由于∫在x点可偏导,因此∞(x)在x9点可导, 由 Fermat引理,即得到 (x1)=fx(x1, x)=0 使函数f的各个一阶偏导数同时为零的点称为f的驻点

先考察一个点为极值点的必要条件。 定理 12.6.1（必要条件） 设 0 x 为函数 f 的极值点，且 f 在 0 x 点 可偏导，则 f 在 0 x 点的各个一阶偏导数都为零，即 ( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) 0 1 2 x = x = = x = n x x x f f  f 。 证 只证明 ( 0 ) 0 1 f x x = ，其他类似。考虑一元函数 ( ) ( , , , ) 0 0 1 1 2 n  x = f x x  x ， 则 0 1 x 是 ( ) 1  x 的极值点。由于 f 在 0 x 点可偏导，因此 ( ) 1  x 在 0 1 x 点可导， 由 Fermat 引理，即得到 ( ) 0 1  x = ( , , , ) 0 0 0 2 0 f x1 x1 x  xn = 。 使函数 f 的各个一阶偏导数同时为零的点称为 f 的驻点

注首先,定理12.6.1的条件不是充分的,即驻点不一定是极值 点。如马鞍面方程f(x,y)=xy满足 f2(0.0)=f,(00)=0, 但在(0,0)的任何邻域里,总同时存在使f(x,y)为正和为负的点。而 f(00)=0,因此(0,0)不是f的极值点(见图126.1) 图126.1

注 首先，定理 12.6.1 的条件不是充分的，即驻点不一定是极值 点。如马鞍面方程 f (x, y) = xy 满足 f x (0,0) = f y (0,0) = 0 ， 但在(0,0) 的任何邻域里，总同时存在使 f (x, y)为正和为负的点。而 f (0,0) = 0 ，因此(0,0) 不是 f 的极值点（见图 12.6.1）。 z y O x 图 12.6.1

其次,偏导数不存在的点也可能是极值点。如柱面方程 f(x,y)=x,整个y轴上的每一点(0,y)都是f的极小值点。但在y轴上 的任一点(0,y)处,f关于x的偏导数都不存在(见图1262)。 图1262

其次，偏导数不存在的点也可能是极值点。如柱面方程 f (x, y) =| x |，整个 y 轴上的每一点(0, y)都是 f 的极小值点。但在 y 轴上 的任一点(0, y)处， f 关于x的偏导数都不存在（见图 12.6.2）。 z O y x 图 12.6.2

那么,要加上什么条件才能保证驻点是极值点呢?我们先对二元 函数进行讨论。 设z=f(x,y)在(x0,y)点附近具有二阶连续偏导数,且(x0,y)为f 的驻点,即 f(x0,y0)=f,(xo,yo)=0, 那么由 Taylor公式得到 f(xo+Ar, yo +Ay)-f(o, yo)= (P)Ax+2 (P)axAy+f (P)Ay) 其中芦=(x+Ax,y+y),0<0<1。由于f的二阶偏导数在(x0,y0)点连 续,因此 f(P)=f(xo, yo)+a, f(P)=f(xo, yo)+B, f(P)=f(xo, yo)+r 其中a,B,y为当p=Ax2+Ay2→0时的无穷小量

那么，要加上什么条件才能保证驻点是极值点呢？我们先对二元 函数进行讨论。 设 z = f (x, y) 在( , ) 0 0 x y 点附近具有二阶连续偏导数，且( , ) 0 0 x y 为 f 的驻点，即 f x (x0 , y0 ) = f y (x0 , y0 ) = 0， 那么由 Taylor 公式得到 2 2 0 0 0 0 1 ( , ) ( , ) { ( ) 2 ( ) ( ) } 2 xx xy yy f x x y y f x y f P x f P x y f P y +  +  − =  +   +  ， 其中 ( , ), 0 1 ~ P = x0 +x y0 +y   。由于 f 的二阶偏导数在( , ) 0 0 x y 点 连 续，因此 = + = +  ) = ( , ) +  ~ ) ( , ) , ( ~ ) ( , ) , ( ~ ( 0 0 0 0 0 0 f P f x y f P f x y f P f x y xx xx xy xy yy yy ， 其中, , 为当 0  = x 2 + y 2 → 时的无穷小量

于是 f(xo +Ax, yo+ Ay)-f(xo, yo) G (xo, yo)Ax+2 (xo, yo)ArAy+f(xo, yo)Ay+aAx+2BAxAy+yy p2Vx(x0,y)32+2fn(x0,y)7+fy(x0,y0)m2+o(1) 其中E=,m=y 由于2+n2=1,因此,判断f(x0,y)是否为极值的问题就转化为 判断二次型 8(5,m)=fx(x,y)52+2f(x0,y)57+fy(x0,y) 在单位圆周 S=(5,m)∈R2|52+m 上是否保号的问题

于是   2 2 2 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 ( , ) 2 ( , ) ( , ) 2 2 1 ( , ) ( , ) f x y x f x y x y f x y y x x y y f x x y y f x y = xx  + xy   + yy  +  +   +  +  +  −     ( , ) 2 ( , ) ( , ) (1) 2 1 2 0 0 0 0 2 0 0 2 =  f xx x y  + f xy x y   + f yy x y  + o ( → 0)， 其中     x y =  = , 。 由于 1 2 2  + = ，因此，判断 ( , ) 0 0 f x y 是否为极值的问题就转化为 判断二次型 2 0 0 0 0 2 0 0 g(,) = f xx (x , y ) + 2 f xy (x , y ) + f yy (x , y ) 在单位圆周 S {( , ) 1} 2 2 2 =    R  + = 上是否保号的问题

若二次型g(,m)是正定的,那么g(,η)在S上的最小值一定满足 min{8(,m)}=m>0。 (5,n)∈S 因此当p≠0且p充分小时 f(xo+Ax, yo+ Ay)-f(xo, yo) 2p2{(xy)2+2/0(xy)+f(x2+( ≥P2{m+o(}>0 即f(xny)为极小值

若二次型 g( ,)是正定的，那么 g( ,)在 S 上的最小值一定满足 ( , ) min { ( , )} 0 g m      =  S 。 因此当  0且  充分小时，     0 0 0 0 2 2 2 0 0 0 0 0 0 2 ( , ) ( , ) 1 ( , ) 2 ( , ) ( , ) (1) 2 1 (1) 0, 2 xx xy yy f x x y y f x y f x y f x y f x y o m o      +  +  − = + + +  +  即 ( , ) 0 0 f x y 为极小值

若二次型g(,m)是正定的,那么g(,η)在S上的最小值一定满足 min{8(,m)}=m>0。 (5,n)∈S 因此当p≠0且p充分小时 f(xo+Ax, yo+ Ay)-f(xo, yo) 2p2{(xy)2+2/0(xy)+f(x2+( ≥P2{m+o(}>0 即f(xny)为极小值。 类似地,若二次型g(5,m)为负定的,那么f(x0,y3)为极大值。 若二次型g(5,m)是不定的,同样易知f(xn,y)既不是极大值,也 不是极小值

若二次型 g( ,)是正定的，那么 g( ,)在 S 上的最小值一定满足 ( , ) min { ( , )} 0 g m      =  S 。 因此当  0且  充分小时，     0 0 0 0 2 2 2 0 0 0 0 0 0 2 ( , ) ( , ) 1 ( , ) 2 ( , ) ( , ) (1) 2 1 (1) 0, 2 xx xy yy f x x y y f x y f x y f x y f x y o m o      +  +  − = + + +  +  即 ( , ) 0 0 f x y 为极小值。 类似地，若二次型g(,) 为负定的，那么 ( , ) 0 0 f x y 为极大值。 若二次型g(,) 是不定的，同样易知 ( , ) 0 0 f x y 既不是极大值，也 不是极小值

综合以上讨论,结合代数学的知识,就得到 定理12.6.2设(xn,y)为f的驻点,f在(x02y)附近具有二阶连 续偏导数。记 f (xo, yo), b=f(xo, yo), C=f(xo, yo) 并记 =AC-B, B O 那么 (1)若H>0:A>0时f(x02y)为极小值;A<0时f(x0,y)为极大 值 (2)若H<0:f(x02y)不是极值。 (3)当H=0时,不难举例说明,∫(x,υ)可能是极值,也可能不 是极值

综合以上讨论，结合代数学的知识，就得到 定理 12.6.2 设( , ) 0 0 x y 为 f 的驻点， f 在( , ) 0 0 x y 附近具有二阶连 续偏导数。记 ( , ), ( , ), ( , ) 0 0 0 0 0 0 A f x y B f x y C f x y = xx = xy = yy ， 并记 2 AC B B C A B H = = − ， 那么 （1）若H  0： A  0时 ( , ) 0 0 f x y 为极小值； A 0时 ( , ) 0 0 f x y 为极大 值； （2）若H  0： ( , ) 0 0 f x y 不是极值。 （3）当H = 0时，不难举例说明， ( , ) 0 0 f x y 可能是极值，也可能不 是极值

例12.6.1求函数f(x,y)=x(a-x-y)(a≠0)的极值。 解先找驻点,即解方程组 x(a-x-y)-xy=0 易解出驻点为(00)(aQ(0a)和(aa) 33 再求二阶偏导数, =a-2x-2 x axon

例 12.6.1 求函数 f (x, y) = x y(a − x − y) (a  0) 的极值。 解 先找驻点，即解方程组       = − − − =   = − − − =   ( ) 0. ( ) 0, x a x y x y y f y a x y x y x f 易解出驻点为(0,0), (a,0), (0,a)和       3 , 3 a a 。 再求二阶偏导数， x y f a x y x y f y x f 2 , 2 2 , 2 2 2 2 2 2 = −   = − −    = −  