《数学分析》课程电子教案（PPT课件）第二章 数列极限（2.2）数列极限

§2数列极限 数列与数列极限 数列是指按正整数编了号的一串数: 通常表示成{x},其中x称为该数列的通项

§2 数列极限 数列与数列极限 数列是指按正整数编了号的一串数： x x x 1 2 n , ,  , , ， 通常表示成{ x n }，其中 x n 称为该数列的通项

§2数列极限 数列与数列极限 数列是指按正整数编了号的一串数: 通常表示成{x},其中x称为该数列的通项。 数列的例子: n+3 n+3’…;

数列的例子：       n 1 : 1, 1 2 , 1 3 , …， 1 n ,…；       n + 3 n : 1 4 , 2 5 , 3 6 , …， n n + 3 ,…；   2 n : 1, 4, 9, …，n 2 ,…；   n (−1) : -1, 1, -1, 1, …，(−1) n ，…。 数列与数列极限 数列是指按正整数编了号的一串数： x x x 1 2 n , ,  , , ， 通常表示成{ x n }，其中 x n 称为该数列的通项。 §2 数列极限

注尽管数列与数集的记号是类似的,但两者的概念是有区别 的。在数集中,元素之间没有次序关系,所以重复出现的数看成是 同一个元素;但在数列中,每一个数都有确定的编号,前后次序不 能颠倒,重复出现的数不能随便舍去。 中国古代数学家早就具有朴素的极限思想。他们为了求圆周率 兀(即圆的周长与直径之比),采用单位圆的内接正n边形的半周长 Ln去逼近它。就如刘徽所说:“割之弥细,所失弥少;割之又割, 以至于不可割,则与圆周合体而无所失矣

注 尽管数列与数集的记号是类似的，但两者的概念是有区别 的。在数集中，元素之间没有次序关系，所以重复出现的数看成是 同一个元素；但在数列中，每一个数都有确定的编号，前后次序不 能颠倒，重复出现的数不能随便舍去。 中国古代数学家早就具有朴素的极限思想。他们为了求圆周率 π（即圆的周长与直径之比），采用单位圆的内接正n边形的半周长 L n去逼近它。就如刘徽所说：“割之弥细，所失弥少；割之又割， 以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣

极限的定义 定义2.2.1设{xn}是一给定数列,a是一个实常数。如果对 于任意给定的>0,可以找到正整数N,使得当n>N时,成立 <8 则称数列{xn}收敛于a(或a是数列{xn}的极限),记为 lim x=a, n→)0 有时也记为 x.→)a(n→)0)。 如果不存在实数a,使{xn}收敛于a,则称数列{xn}发散

极限的定义 定义2.2.1 设{x }n 是一给定数列， a 是一个实常数。如果对 于任意给定的   0，可以找到正整数 N ，使得当 n  N 时，成立 ｜ x n − a｜ ， 则称数列{x }n 收敛于a （或a 是数列{x }n 的极限），记为 lim n→ x n = a， 有时也记为 x n → a ( n →  )。 如果不存在实数 a ,使{ x n }收敛于 a ,则称数列 {x }n 发散

注 (1)取以a为中心,s为半径的一个开区间(a-E,a+),称 它为点a的ε邻域,记为O(a,B): O(a, 8)=ixla-8N时,成立|xn-a|N

注 （1）取以a 为中心， 为半径的一个开区间(a −  ,a +  )，称 它为点a 的 邻域，记为O(a, )： O(a, ) = {x| a −   x  a + }。 “当n  N 时，成立｜ x n − a｜  ”表示数列中从 N +1项起的所有 的项都落在点a 的 邻域中，即( , ), n x O a n N   

注 (1)取以a为中心,s为半径的一个开区间(a-E,a+),称 它为点a的ε邻域,记为O(a,B): O(a, 8)=ixla-8N时,成立|xn-a|N 由于s具有任意性,也就是说邻域O(a,;)的长度可以任意收 缩。但不管收缩得多么小,数列一定会从某一项起全部落在这个 邻域中,所以不难理解,a必为这个数列的极限值

由于  具有任意性，也就是说邻域 O(a, ) 的长度可以任意收 缩。但不管收缩得多么小，数列一定会从某一项起全部落在这个 邻域中，所以不难理解，a 必为这个数列的极限值。 注 （1）取以a 为中心， 为半径的一个开区间(a −  ,a +  )，称 它为点a 的 邻域，记为O(a, )： O(a, ) = {x| a −   x  a + }。 “当n  N 时，成立｜ x n − a｜  ”表示数列中从 N +1项起的所有 的项都落在点a 的 邻域中，即( , ), n x O a n N   

注 (2)在上述的定义中,E既是任意的,又是给定的。因为只 有当ε确定时,才能找到相应的正整数N

注 （2）在上述的定义中， 既是任意的，又是给定的。因为只 有当 确定时，才能找到相应的正整数 N

注 (2)在上述的定义中,ε既是任意的,又是给定的。因为只 有当ε确定时,才能找到相应的正整数N (3)从极限的定义可知,一个数列{xn}收敛与否,收敛于哪 个数,与这一数列的前面有限项无关。也就是说,改变数列前面 的有限项,不影响数列的收敛性

（3）从极限的定义可知，一个数列{x }n 收敛与否，收敛于哪 个数，与这一数列的前面有限项无关。也就是说，改变数列前面 的有限项，不影响数列的收敛性。 注 （2）在上述的定义中， 既是任意的，又是给定的。因为只 有当 确定时，才能找到相应的正整数 N

例221证明数列"的极限为 n+ 证对任意给定的ε>0,要使 N时,必 有n>3-3,于是成立 <8 n+3 +3

例2.2.1 证明数列       n + 3 n 的极限为 1。 证 对任意给定的   0，要使 1 3 − n + n = + 3 n 3  ， 只须 3 3  −  n 。 取 1 3 +      =  N ,其中[x]表示 x 的整数部分，则当 n  N 时，必 有 3 n 3   − ，于是成立 1 3 − n + n = + 3 n 3 

显然,下面两数列 {n2}:1,4,9,…,n {(-1)”}:-1,1,-1,1, 是发散数列

显然，下面两数列 {n 2 }： 1，4，9，…，n 2 ,… {(−1) n }: -1,1,-1,1,… 是发散数列