《数学分析》课程电子教案（PPT课件）第十五章 含参变量积分（15.2）含参变量的反常积分

§2含参变量的反常积分 含参变量反常积分的一致收敛 含参变量的反常积分也有两种:无穷区间上的含参变量反常积分 和无界函数的含参变量反常积分。 设二元函数f(x,y)定义在[a,+∞)×c,4上,若对某个yo∈[c,d,反 常积分f(xy)dx收敛,则称含参变量反常积分∫f(x,y)x在y处 收敛,并称y为它的收敛点。记E为所有收敛点组成的点集,则E 就是函数 (y)= f(x, y)dx 的定义域,也称为∫xyd的收敛域

含参变量反常积分的一致收敛 含参变量的反常积分也有两种：无穷区间上的含参变量反常积分 和无界函数的含参变量反常积分。 设二元函数 f (x, y)定义在[a,+)[c,d]上，若对某个 [ , ] y0  c d ，反 常积分 0 ( , )d a f x y x +  收敛，则称含参变量反常积分 0 ( , )d a f x y x +  在 0 y 处 收敛，并称 0 y 为它的收敛点。记 E 为所有收敛点组成的点集，则 E 就是函数 ( ) ( , )d a I y f x y x +  =  的定义域，也称为 ( , )d a f x y x +  的收敛域。 §2 含参变量的反常积分

为讨论1(y)的连续性、可微性和可积性,引进一致收敛的概念。 定义15.2.1设二元函数f(x,y)定义在[a,+∞)×c,d上,且对任意 的y∈c,d],反常积分 ()= f(x, y)dx 存在。如果对于任意给定的的E>0,存在与y无关的正数A,使得当 A>A时,对于所有的y∈c,d,成立 f(,ydx-1()<8 f(x, y)dx<a 则称∫f(xy)dx关于y在ed上一致收敛(于1(y)。在参变量明确时, 也常简称∫f(xyx在4上一致收敛。 对fxy)dx与厂f(x,y)dx可同样定义关于y的一致收敛概念

为讨论I( y)的连续性、可微性和可积性，引进一致收敛的概念。 定义 15.2.1 设二元函数 f (x, y)定义在[a,+)[c,d]上，且对任意 的 y [c, d]，反常积分 ( ) ( , )d a I y f x y x +  =  存在。如果对于任意给定的的  0，存在与 y 无关的正数 A0，使得当 A  A0时，对于所有的 y [c, d]，成立 ( , )d ( ) A a f x y x I y −    ， 即 ( , )d A f x y x  +   ， 则称 ( , )d a f x y x +  关于 y 在[c,d]上一致收敛（于I( y)）。在参变量明确时， 也常简称 ( , )d a f x y x +  在[c,d]上一致收敛。 对 ( , )d a f x y x − 与 f x y x ( , )d + − 可同样定义关于 y 的一致收敛概念

例15.2.1含参变量a的反常积分cdx关于a在[a,+)上 致收敛(a0>0),但在(O,+∞)上不一致收敛 解先说明∫cdx在[an,+∞)上一致收敛。由于当a≥ao时, 0 e"d、-1fedt= ea2-eaxA, aA 而 A→>+∞C 所以对于任意给定的>0,存在正数A,使得当A>4时,e4<。 这时成立 eadk<e-“41<E, 这说明∫。c"dx在[an,+)上一致收敛

例 15.2.1 含参变量 的反常积分 0 e dx x  + −  关于 在[ , )  0 +  上一 致收敛（ 0  0），但在(0, + )上不一致收敛。 解 先说明 0 e dx x  + −  在[ , )  0 +  上一致收敛。由于当   0时， 0 0 1 1 1 0 e d e d e e x t x t A A A A x t         = + + − − − −  = =    令 ， 而 e 0 1 lim 0 0 = − →+ A A   ， 所以对于任意给定的  0，存在正数 A0，使得当 A  A0时， 0 0 1 e  A   −  。 这时成立 e dx A x  + −   0 0 1 e  A   −  ， 这说明 0 e dx x  + −  在[ , )  0 +  上一致收敛

再说明∫。e"dx在(0+∞)上不一致收敛。对于任意取定的正数 ,由于 而mea=+,所以必存在某个a()∈(0+x),使得∫edx>1 因此∫。e“dx在(O+∞)上不一致收敛

再说明 0 e dx x  + −  在 (0, + ) 上不一致收敛。对于任意取定的正数 A，由于 1 e d e x A A x    + − − =  ， 而 = + − → + A   e 1 lim 0 ，所以必存在某个(A) (0,+) ，使得 ( ) e d 1 A x A x  + −   。 因此 0 e dx x  + −  在(0, + )上不一致收敛

对于无界函数的含参变量反常积分,同样也有一致收敛的概念 定义15.2.1设二元函数f(x,y)定义在a,b)xc4]上,且对任意的 y∈e,d],以b为奇点的反常积分 x. v)ax 存在。如果对于任意E>0,存在与y无关的δ>0,使得当0<n<δ时, 对所有y∈c,小成立 f(x,y)dx-1(<e 即 f(x, y)dx<a 则称f(xy关于y在上一致收敛(于1(y)。在参变量明确时, 也常简称(x,y在cd上一致收敛

对于无界函数的含参变量反常积分，同样也有一致收敛的概念： 定义 15.2.1'设二元函数 f (x, y)定义在[a,b)[c, d]上，且对任意的 y [c, d]，以b为奇点的反常积分 ( ) ( , )d b a I y f x y x =  存在。如果对于任意  0，存在与 y 无关的  0，使得当0    时， 对所有 y [c, d]成立 ( , )d ( ) b a f x y x I y   − −   , 即 ( , )d b b f x y x   −   ， 则称 ( , )d b a f x y x  关于 y 在[c,d]上一致收敛（于I( y)）。在参变量明确时， 也常简称 ( , )d b a f x y x  在[c,d]上一致收敛

一致收敛的判别法 下面仅以厂f(xy)x为例讨论一致收敛的判别方法。对于无界函 数的情况,结果是类似的。 定理15.21( Cauchy收敛原理)含参变量反常积分f(xy)dx 在c,d上一致收敛的充分必要条件为:对于任意给定的E>0,存在与 y无关的正数A4,使得对于任意的A,A>A,成立 Af(xy)dx<,y∈c,d

一致收敛的判别法 下面仅以 ( , )d a f x y x +  为例讨论一致收敛的判别方法。对于无界函 数的情况，结果是类似的。 定理 15.2.1（Cauchy 收敛原理） 含参变量反常积分 ( , )d a f x y x +  在[c,d]上一致收敛的充分必要条件为：对于任意给定的  0，存在与 y 无关的正数 A0，使得对于任意的 0 A , A  A ，成立 ( , )d A A f x y x     ， y [c, d]

一致收敛的判别法 下面仅以厂f(xy)x为例讨论一致收敛的判别方法。对于无界函 数的情况,结果是类似的。 定理15.21( Cauchy收敛原理)含参变量反常积分f(xy)dx 在c,d上一致收敛的充分必要条件为:对于任意给定的E>0,存在与 y无关的正数A4,使得对于任意的A,A>A,成立 Af(xy)dx0,使得对于任意大的正数A4,总存在 A,A>A及y∈[c,d,使得 f(xy4)20, 那么含参变量反常积分J(xydx在c上非一致收敛

由 Cauchy 收敛原理立即得知： 推论 15.2.1 若存在  0  0，使得对于任意大的正数 A0 ，总存在 0 A , A  A 及 [ , ] 0 y A  c d ，使得 0 0 ( , )d A A A f x y x     ， 那么含参变量反常积分 ( , )d a f x y x +  在[c,d]上非一致收敛。 一致收敛的判别法 下面仅以 ( , )d a f x y x +  为例讨论一致收敛的判别方法。对于无界函 数的情况，结果是类似的。 定理 15.2.1（Cauchy 收敛原理） 含参变量反常积分 ( , )d a f x y x +  在[c,d]上一致收敛的充分必要条件为：对于任意给定的  0，存在与 y 无关的正数 A0，使得对于任意的 0 A , A  A ，成立 ( , )d A A f x y x     ， y [c, d]

定理15.2.2( Weierstrass判别法)如果存在函数F(x)使得 (1)|f(x,y)≤F(x),a≤x<+∞,c≤y≤d, (2)反常积分∫F(xdx收敛。 那么含参变量的反常积分fxy)d在c:上一致收敛

定理 15.2.2（Weierstrass 判别法） 如果存在函数 F(x) 使得 （1）| f (x, y) | F(x), a  x  +, c  y  d ， （2）反常积分 ( )d a F x x +  收敛。 那么含参变量的反常积分 ( , )d a f x y x +  在[c,d]上一致收敛

定理15.2.2( Weierstrass判别法)如果存在函数F(x)使得 (1)|f(x,y)≤F(x),a≤x0,存在正数A,使得对于任意的A,A>A,成立 F(x)dxA时,对于任意y∈c,d,不等式 f(x, y)dx< F(x)odx<a 成立,由定理1521,∫F(x)在e4上一致收敛

证 因为 ( )d a F x x +  收敛，由反常积分的 Cauchy 收敛原理，对于任 意给定的   0，存在正数 A0 ，使得对于任意的 0 A , A  A ，成立 ( )d A A F x x     。 因此当 0 A , A  A 时，对于任意 y [c, d]，不等式 ( , )d ( )d A A A A f x y x F x x        成立，由定理 15.2.1， ( )d a F x x +  在[c,d]上一致收敛。 定理 15.2.2（Weierstrass 判别法） 如果存在函数 F(x) 使得 （1）| f (x, y) | F(x), a  x  +, c  y  d ， （2）反常积分 ( )d a F x x +  收敛。 那么含参变量的反常积分 ( , )d a f x y x +  在[c,d]上一致收敛

-ax 例1522证明∫。计关于a在D+)上一致收敛 解由于 0< ,0≤x<+∞,0≤a<+∞, 1+x21+x 而,dx=收敛,由 Weierstra别法, 在[0,+∞)上 01+ 致收敛

例 15.2.2 证明 2 0 e d 1 x x x − + +  关于  在 [0,+)上一致收敛。 解 由于   +   + +  +  −   , 0 , 0 1 1 1 e 0 2 2 x x x x ， 而 2 0 1 π d 1 2 x x + = +  收敛，由 Weierstrass 判别法， 2 0 e d 1 x x x − + +  在[0,+)上一 致收敛