《数学分析》课程电子教案（PPT课件）第十一章 Euclid空间上的极限和连续（11.2）多元连续函数

§2多元连续函数 多元函数 定义11.2.1设D是R上的点集,D到R的映射 f: D>R 称为n元函数,记为z=f(x)。这时,D称为f的定义域,f(D)= z∈R|z=f(x),r∈D}称为f的值域,Ⅰ{(x,x)∈R|z=f(x),x∈D}称为 f的图像

多元函数 定义 11.2.1 设 D 是 n R 上的点集，D 到 R 的映射 f : D → R ， x z 称 为 n 元函数，记 为 z f = ( ) x 。这 时，D 称 为 f 的定义域， f ( ) D = { R | ( ), } z z f  =  x x D 称为 f 的值域，= 1 {( , ) R | ( ), } n z z f + x x x D  =  称为 f 的图像。 §2 多元连续函数

例112.1=1-x-y是二元函数,其定义域为 D={(x,y)∈R2|2+2≤1 函数的图像是一个上半椭球面(见图11.2.1)。 图11.2.1

例 11.2.1 2 2 2 2 1 b y a x z = − − 是二元函数，其定义域为 D= 2 2 2 2 2 ( , ) 1 x y x y a b        +      R ， 函数的图像是一个上半椭球面（见图 11.2.1）。 z 2 2 2 2 1 b y a x z = − − O y y x 图 11.2.1

多元函数的极限 定义1122设D是R"上的开集,x=(x,x2…,x)eD为一定 点,z=f(x)是定义在D\{x}上的n元函数,A是一个实数。如果 对于任意给定的g>0,存在δ>0,使得当x∈O(x,o)\{x}时,成立 f(x)-4A(x→>x0),或 im。f(x1,x2,…,xn)=A

多元函数的极限 定义 11.2.2 设 D 是 n R 上的开集， = ( ) 0 0 2 0 0 1 , , , n x x x  x D 为一定 点，z = f (x)是定义在 D \ { 0 x }上的 n 元函数， A是一个实数。如果 对于任意给定的  0，存在  0，使得当 ( , ) x O x0  \ { 0 x }时，成立 f (x) − A   ， 则称 x 趋于 0 x 时 f 收敛，并称 A为 f 当 x 趋于 0 x 时的（n 重）极限， 记为 0 lim x→x f (x) = A , 或 f (x) → A （ x → x0），或 f x x xn A x x x x x x n n = → → → lim ( , , , ) 1 2 0 0 2 2 0 1 1  

多元函数的极限 定义1122设D是R"上的开集,x=(x,x2…,x)eD为一定 点,z=f(x)是定义在D\{x}上的n元函数,A是一个实数。如果 对于任意给定的g>0,存在δ>0,使得当x∈O(x,o)\{x}时,成立 f(x)-4A(x→>x0),或 im。f(x1,x2,…,xn)=A。 X→x 注在上面的定义中,“x∈O(xn,)\{x}”也可以用下面的条件 x1-xkδ,|x2-x2kd,…,|xn-xnk<,x≠x0 替代

注 在上面的定义中，“ 0 x x O( , )  \ { 0 x }”也可以用下面的条件 | | , | | , 0 2 2 0 x1 − x1   x − x   , | | , 0  xn − xn   x  0 x 替代。 多元函数的极限 定义 11.2.2 设 D 是 n R 上的开集， = ( ) 0 0 2 0 0 1 , , , n x x x  x D 为一定 点，z = f (x)是定义在 D \ { 0 x }上的 n 元函数， A是一个实数。如果 对于任意给定的  0，存在  0，使得当 ( , ) x O x0  \ { 0 x }时，成立 f (x) − A   ， 则称 x 趋于 0 x 时 f 收敛，并称 A为 f 当 x 趋于 0 x 时的（n 重）极限， 记为 0 lim x→x f (x) = A , 或 f (x) → A （ x → x0），或 f x x xn A x x x x x x n n = → → → lim ( , , , ) 1 2 0 0 2 2 0 1 1  

例112.2设f(x,y)=(x+y)sm,),证明 x+ imf(x,y)=0。 (x,y)>(0,0) 证由于 f(x,y)-0F(x+y)sin ≤|x+y|≤|x|+|y, 所以,对于任意给定的E>0,只要取δ=5,那么当|x-0k6,|y-0kδ, 且(x,y)≠(00)时, f(x,y)-0|≤|x|+y|(0,0)

例 11.2.2 设 2 2 ( , ) ( )sin x y y f x y x y + = + ，证明 lim ( , ) 0 ( , ) (0,0) = → f x y x y 。 证 由于 2 2 | ( , ) 0 | ( )sin x y y f x y x y + − = + ≤| x + y | ≤| x | + | y |， 所以，对于任意给定的  0，只要取 2   = ，那么当| x − 0 |  , | y − 0 |  ， 且(x, y)  (0,0)时，| f (x, y) − 0 |≤    +   +  = + = 2 2 | x | | y | 。 这说明了 lim ( , ) 0 ( , ) (0,0) = → f x y x y

对一元函数而言,只要在x的左、右极限存在且相等,那么函数 在x处的极限就存在。而对多元函数来说,根据极限存在的定义,则 要求当x以任何方式趋于xn时,函数值都趋于同一个极限。若自变量 沿不同的两条曲线趋于某一定点时,函数的极限不同或不存在,那么 这个函数在该点的极限一定不存在

对一元函数而言，只要在 0 x 的左、右极限存在且相等，那么函数 在 0 x 处的极限就存在。而对多元函数来说，根据极限存在的定义，则 要求当 x以任何方式趋于 0 x 时，函数值都趋于同一个极限。若自变量 沿不同的两条曲线趋于某一定点时，函数的极限不同或不存在，那么 这个函数在该点的极限一定不存在

对一元函数而言,只要在x的左、右极限存在且相等,那么函数 在x处的极限就存在。而对多元函数来说,根据极限存在的定义,则 要求当x以任何方式趋于xn时,函数值都趋于同一个极限。若自变量 沿不同的两条曲线趋于某一定点时,函数的极限不同或不存在,那么 这个函数在该点的极限一定不存在 例1112.3设f(x,y)=,,(x,y)≠(00 x-+ 当点x=(x,y)沿x轴和y轴趋于(00)时,f(x,y)的极限都是0。但 当点x=(x,y)沿直线y=mx趋于(0.0)时 lim f(, y)=lim +m2x21+m 对于不同的m有不同的极限值。这说明f(x,y)在点(00)的极限不存在

例 11.2.3 设 ( , ) , ( , ) (0,0) 2 2  + = x y x y x y f x y 。 当点 x = (x, y)沿 x 轴和 y 轴趋于(0,0) 时，f (x, y)的极限都是 0。但 当点 x = (x, y)沿直线 y = mx趋于(0,0) 时， 2 2 2 2 2 0 0 1 lim ( , ) lim m m x m x mx f x y x y mx x + = + = → = → ， 对于不同的m有不同的极限值。这说明 f (x, y)在点(0,0) 的极限不存在。 对一元函数而言，只要在 0 x 的左、右极限存在且相等，那么函数 在 0 x 处的极限就存在。而对多元函数来说，根据极限存在的定义，则 要求当 x以任何方式趋于 0 x 时，函数值都趋于同一个极限。若自变量 沿不同的两条曲线趋于某一定点时，函数的极限不同或不存在，那么 这个函数在该点的极限一定不存在

下例说明即使点x沿任意直线趋于x0时,f(x,y)的极限都存在且 相等,仍无法保证函数∫在x处有极限。 例11.2.4设f(x,y) 2,(x,y)≠(0,0) y+x 当点x=(x,y)沿直线y=mx趋于(00)时,成立 nx-X lim f(, y)=lim x→>0nx+x 当点x=(x,y)沿y轴趋于(0,0)时,也成立mnf(x,y)=1,因此当点x=(x,y) 沿任何直线趋于(00)时,f(x,y)极限存在且相等。 但f(x,y)在点(00)的极限不存在。事实上,f在抛物线y2=x上的 值为0,因此当点x=(x,y)沿这条抛物线趋于(00)时,它的极限为0

下例说明即使点 x 沿任意直线趋于 0 x 时， f (x, y)的极限都存在且 相等，仍无法保证函数 f 在 0 x 处有极限。 例 11.2.4 设 , ( , ) (0,0) ( ) ( , ) 4 2 2 2  + − = x y y x y x f x y 。 当点 x = (x, y)沿直线 y = mx趋于(0,0) 时, 成立1 ( ) lim ( , ) lim 4 4 2 2 2 2 0 0 = + − = → = → m x x m x x f x y x y mx x ； 当点 x = (x, y)沿 y 轴趋于(0,0) 时，也成立lim ( , ) 1 0 0 = = → f x y x y ，因此当点 x = (x, y) 沿任何直线趋于(0,0) 时， f (x, y)极限存在且相等。 但 f (x, y)在点(0,0) 的极限不存在。事实上， f 在抛物线 y = x 2 上的 值为 0，因此当点 x = (x, y)沿这条抛物线趋于(0,0) 时，它的极限为 0

元函数的极限性质,如唯一性、局部有界性、局部保序性、 局部夹逼性及极限的四则运算法则,对二元函数依然成立,这里不 再细述,请读者自行加以证明

一元函数的极限性质，如唯一性、局部有界性、局部保序性、 局部夹逼性及极限的四则运算法则，对二元函数依然成立，这里不 再细述，请读者自行加以证明

元函数的极限性质,如唯一性、局部有界性、局部保序性、 局部夹逼性及极限的四则运算法则,对二元函数依然成立,这里不 再细述,请读者自行加以证明 累次极限 对重极限mf(x,y)(即mnf(x,y),人们很自然会想到的是, (x,y)(x,y) 能否在一定条件下将重极限(x,y)→(x,y)分解成为两个独立的极限 x→x和y→y’再利用一元函数的极限理论和方法逐个处理之? 这后一种极限称为累次极限

累次极限 对重极限 lim ( , ) ( , ) ( , ) 0 0 f x y x y → x y （即 lim ( , ) 0 0 f x y y y x x → → ），人们很自然会想到的是， 能否在一定条件下将重极限(x, y) ( , ) 0 0 → x y 分解成为两个独立的极限 0 x → x 和 0 y → y ，再利用一元函数的极限理论和方法逐个处理之？ 这后一种极限称为累次极限。 一元函数的极限性质，如唯一性、局部有界性、局部保序性、 局部夹逼性及极限的四则运算法则，对二元函数依然成立，这里不 再细述，请读者自行加以证明