《数学分析》课程电子教案（PPT课件）第十一章 Euclid空间上的极限和连续（11.3）连续函数的性质

§3连续函数的性质 紧集上的连续映射 为了将一元连续函数在闭区间上的重要性质推广到多元连续函 数,为此先定义多元函数在点集的边界点连续的概念。 定义11.3.1设点集KCR,f:K→R为映射(向量值函数) x∈K。如果对于任意给定的>0,存在δ>0,使得当x∈O(xn,O)∩K 时,成立 f(x)-f(x)<6(即f(x)∈O(f(x)6)) 则称∫在点x连续 如果映射∫在K上每一点连续,就称∫在K上连续,或称映射 f为K上的连续映射

紧集上的连续映射 为了将一元连续函数在闭区间上的重要性质推广到多元连续函 数，为此先定义多元函数在点集的边界点连续的概念。 定义 11.3.1 设点集 K  n R ，f : K→ m R 为映射（向量值函数）， x K 0  。如果对于任意给定的  0，存在  0，使得当 0 x x K O( , )  时，成立 ( ) − ( )   x0 f x f （即 ( ) ( ( ), ) 0 f x O f x  ）， 则称 f 在点 0 x 连续。 如果映射 f 在 K 上每一点连续，就称 f 在 K 上连续，或称映射 f 为 K 上的连续映射。 §3 连续函数的性质

也就是说,当x。是K的内点时,这就是原来的定义;当xn是K 的边界点时,只要求∫在x的δ邻域中属于K的那些点上满足不等 式 f(x)-f(x)< 请读者与一元函数的单侧连续定义相比较

也就是说，当 0 x 是 K 的内点时，这就是原来的定义；当 0 x 是 K 的边界点时，只要求 f 在 0 x 的 邻域中属于 K 的那些点上满足不等 式 ( ) − ( )   x0 f x f 。 请读者与一元函数的单侧连续定义相比较

也就是说,当x。是K的内点时,这就是原来的定义;当xn是K 的边界点时,只要求∫在x的δ邻域中属于K的那些点上满足不等 式 f(x)f(xo)<8 请读者与一元函数的单侧连续定义相比较 闭区间实质上是一维空间中的有界闭集,在讨论高维空间上连 续函数的性质时,应该要求∫的定义域是高维空间中的有界闭集, 即紧集

闭区间实质上是一维空间中的有界闭集，在讨论高维空间上连 续函数的性质时，应该要求 f 的定义域是高维空间中的有界闭集， 即紧集。 也就是说，当 0 x 是 K 的内点时，这就是原来的定义；当 0 x 是 K 的边界点时，只要求 f 在 0 x 的 邻域中属于 K 的那些点上满足不等 式 ( ) − ( )   x0 f x f 。 请读者与一元函数的单侧连续定义相比较

定理11.3.1连续映射将紧集映射成紧集。 证设K是R"中紧集,∫:K→丶R为连续映射。要证明K的像集 f∫(K)={y∈R"|y=f(x),x∈K} 是紧集,根据定理11.1.10,只要证明中的任意一个无限点集必有聚 属于f(k)就可以了。因为每一个无限点集都有可列无限点集,即 点列的子集,所以只要证明f(K)的任意一个点列必有聚点属于f(K) 即可

定理 11.3.1 连续映射将紧集映射成紧集。 证 设 K 是 n R 中紧集， : → m f K R 为连续映射。要证明 K 的像集 ( ) { | ( ), } m f K y y f x x K =  =  R 是紧集，根据定理 11.1.10，只要证明中的任意一个无限点集必有聚 点属于 f K( )就可以了。 因为每一个无限点集都有可列无限点集，即 点列的子集，所以只要证明 f K( )的任意一个点列必有聚点属于 f K( ) 即可

定理11.3.1连续映射将紧集映射成紧集。 证设K是R"中紧集,∫:K→丶R为连续映射。要证明K的像集 f∫(K)={y∈R"|y=f(x),x∈K} 是紧集,根据定理11.1.10,只要证明中的任意一个无限点集必有聚 属于f(k)就可以了。因为每一个无限点集都有可列无限点集,即 点列的子集,所以只要证明f(K)的任意一个点列必有聚点属于f(K) 即可。 设{}为f(K)的任意一个点列。对于每个y,任取一个满足f(x) yk的xk∈K(k=1,2,…),则{xk}为紧集K中的点列,它必有聚点属 于K,即存在{xk}的子列{x4}满足 imx.=a∈K 1→∞ 由∫在a点的连续性得 imy,=limf(x)=∫(a), 即f(a)是{yk}的一个聚点,它显然属于f(K)。因此,f(k)是紧集

设{yk}为 f K( ) 的任意一个点列。对于每个 yk，任取一个满足 f (xk ) = yk的 xk K （k = 1,2,  ），则{xk}为紧集 K 中的点列，它必有聚点属 于 K，即存在{xk}的子列{ } l xk 满足=  → x a l k l lim K 。 由 f 在 a 点的连续性得 lim y = lim f (x ) = f (a) → l → l k l k l ， 即 f (a) 是{yk}的一个聚点，它显然属于 f K( )。因此， f K( )是紧集。 定理 11.3.1 连续映射将紧集映射成紧集。 证 设 K 是 n R 中紧集， : → m f K R 为连续映射。要证明 K 的像集 ( ) { | ( ), } m f K y y f x x K =  =  R 是紧集，根据定理 11.1.10，只要证明中的任意一个无限点集必有聚 点属于 f K( )就可以了。 因为每一个无限点集都有可列无限点集，即 点列的子集，所以只要证明 f K( )的任意一个点列必有聚点属于 f K( ) 即可

设f(x)是R中紧集K上的连续函数,那么f(K)是R中的紧集 因此是有界闭集,并且集合∫(κ)有最大值和最小值。于是就可得到 以下结论: 定理113.2(有界性定理)设K是R"中紧集,f是K上的连 续函数。则∫在K上有界

设 f (x) 是 n R 中紧集 K 上的连续函数，那么 f ( ) K 是 R 中的紧集， 因此是有界闭集，并且集合 f ( ) K 有最大值和最小值。于是就可得到 以下结论： 定理 11.3.2（有界性定理） 设 K 是 n R 中紧集, f 是 K 上的连 续函数。则 f 在 K 上有界

设f(x)是R中紧集K上的连续函数,那么f(K)是R中的紧集 因此是有界闭集,并且集合∫(κ)有最大值和最小值。于是就可得到 以下结论: 定理113.2(有界性定理)设K是R"中紧集,f是K上的连 续函数。则f在K上有界。 定理113.3(最值定理)设K是R中紧集,f是K上的连续 函数。则∫在K上必能取到最大值和最小值,即存在51,52∈K, 使得对于一切x∈K成立 f(§1)≤f(x)≤f(52)

定理 11.3.3（最值定理） 设 K 是 n R 中紧集, f 是 K 上的连续 函数。则 f 在 K 上必能取到最大值和最小值，即存在ξ1，ξ2 K， 使得对于一切 xK 成立 f (ξ1) ≤ f (x) ≤ f (ξ2) 。 设 f (x) 是 n R 中紧集 K 上的连续函数，那么 f ( ) K 是 R 中的紧集， 因此是有界闭集，并且集合 f ( ) K 有最大值和最小值。于是就可得到 以下结论： 定理 11.3.2（有界性定理） 设 K 是 n R 中紧集, f 是 K 上的连 续函数。则 f 在 K 上有界

定义113.2设K是R中点集,∫K→Rm为映射。如果对于任 意给定的E>0,存在δ>0,使得 If(r)-f(r<E 对于K中所有满足|x-x"kδ的xx"成立,则称∫在K上一致连续。 致连续的映射一定是连续的,但反之不然(参见本节习题3)

定义 11.3.2 设 K 是 n R 中点集，f : K→ m R 为映射。如果对于任 意给定的   0，存在  0，使得 f (x) − f (x)   对于 K 中所有满足| | x' x −   的 x , x 成立，则称 f 在 K 上一致连续。 一致连续的映射一定是连续的，但反之不然（参见本节习题 3）

定理11.3.4(一致连续性定理)设K是R"中紧集,∫:K→R为 连续映射。则∫在K上一致连续。 证对于任意给定的E>0,由于∫在K上连续,因此对于任意的 a∈K,存在δ>0,使得当x∈O(a,6)∩K时, f(r-flak 显然开集族2/在是K的一个开覆盖。由于K是紧集, 因此存在其中有限个开集Oa 覆盖了 2 K

定理 11.3.4（一致连续性定理） 设 K 是 n R 中紧集，f : K→ m R 为 连续映射。则 f 在 K 上一致连续。 证 对于任意给定的  0，由于 f 在 K 上连续，因此对于任意的 a ∈K，存在 a  0，使得当 x O(a,a ) K 时， | ( ) ( ) | 2  f x f a −  。 显然开集族 , , 2 a O               a a K 是 K 的一个开覆盖。由于 K 是紧集， 因此存在其中有限个开集         2 , 1 1 a O  a ，         2 , 2 2 a O  a ，…， , 2 p a O p          a 覆盖了 K

记=mim6n},那么对于K中满足|x-x”k6的任意x!和x",不 21≤j≤ 妨设x∈Oa (1≤长p),则有 x"-a1|≤|x"-x'|+|x'-a1|<δa+6.=a 于是成立(x")-f(a)k。因此 f(x)-f(x"≤f(x")-f(an)+f(x2)-f(a,) 8 E 由定义,∫在K上一致连续

记 min { } 2 1 1 a j j p     = ，那么对于 K 中满足 | x − x |  的任意 x和 x，不 妨设 x          2 , at O t  a (1≤t≤p)，则有 at at at  − t   −  +  − t   +  =  2 1 2 1 | x a | | x x | | x a | ， 于是成立 2 | ( ) ( )|  f x − f at  。因此 f (x) − f (x) ≤| ( ) ( )| at f x − f +| ( ) ( )| at f x − f     + = 2 2 。 由定义， f 在 K 上一致连续