《数学分析》课程电子教案（PPT课件）第十章（10.2）一致收敛级数的判别与性质

§2一致收敛级数的判别与性质 致收敛的判别 定理10.2.1(函数项级数一致收敛的 Cauchy收敛原理)函数 项级数∑un(x)在D上一致收敛的充分必要条件是:对于任意给定的 E>0,存在正整数N=N(E),使 un(x)+un(x)+.+um(x)In>N与一切x∈D成立

一致收敛的判别 定理 10.2.1（函数项级数一致收敛的 Cauchy 收敛原理） 函数 项级数  =1 ( ) n n u x 在 D 上一致收敛的充分必要条件是：对于任意给定的   0，存在正整数 N = N( )，使 │ ( ) 1 u x n+ + ( ) 2 u x n+ ++um (x)│  对一切正整数 m  n N 与一切 xD 成立。 §2 一致收敛级数的判别与性质

证必要性。设∑1(x)在D上一致收敛,记和函数为S(x),则 对任意给定的E>0,存在正整数N=N(),使得对一切n>N与一切 x∈D,成立 ∑v(x)-S(x) k=1 于是对一切m>n>N与一切x∈D,成立 1an(x)+un2(x)+…+1m(x)|=∑n(x)-∑ S(x)+∑4(x)-S(x)<

证 必要性。设   =1 ( ) n n u x 在 D 上一致收敛，记和函数为 S(x)，则 对任意给定的   0，存在正整数 N = N( )  ， 使得对一切 n N 与一切 xD，成立 ( ) ( ) 1 u x S x n k  k − =  2  。 于是对一切 m  n N 与一切 xD，成立 │ ( ) 1 u x n+ + ( ) 2 u x n+ ++um (x)│=  − = m k k u x 1 ( ) = n k k u x 1 ( )   − + = ( ) ( ) 1 u x S x m k k ( ) ( ) 1 u x S x n k  k − =  

充分性。设任意给定的E>0,存在正整数N=NE),使得对一切 m>n>N与一切x∈D,成立 1un()+n()++()=)-(x) 固定x∈D,则数项级数∑un(x)满足 Cauchy I收敛原理,因而收敛。设 Sx)=∑ x∈D 在∑1(x)-∑(x<中固定n,令m→O,则得到 u, (x E 对一切xeD成立,因而∑un(x)在D上一致收敛于S(x)

充分性。设任意给定的  0，存在正整数 N = N( )，使得对一切 m n N 与一切 xD，成立 │ ( ) 1 u x n+ + ( ) 2 u x n+ ++um (x)│=  − = m k k u x 1 ( ) = n k k u x 1 ( )  2  固定 xD，则数项级数  =1 ( ) n n u x 满足 Cauchy 收敛原理，因而收敛。设 S(x) =  =1 ( ) n n u x ， xD， 在  − = m k k u x 1 ( ) = n k k u x 1 ( )  2  中固定 n， 令m→，则得到 ( ) ( ) 1 u x S x n k  k − =  2    对一切 xD 成立，因而  =1 ( ) n n u x 在 D 上一致收敛于 S(x)

函数序列一致收敛的 Cauchy收敛原理 函数序列{S(x)}在D上一致收敛的充分必要条件是 VE>0,彐N,Vm>n>N,Vx∈D I Sm(x)-Sn(x)I<E

函数序列一致收敛的 Cauchy 收敛原理： 函数序列{Sn (x)}在 D 上一致收敛的充分必要条件是：   0， N，m  n N，xD ： │Sm(x) - Sn (x)│ 

函数序列一致收敛的 Cauchy收敛原理 函数序列{S(x)}在D上一致收敛的充分必要条件是 VE>0,彐N,m>n>N,Vx∈D I Sm(x)-Sn(x)I<E 定理10.22( Weierstrass判别法)设函数项级数∑u(x)(x∈D) 的每一项ln(x)满足 ln(x)|≤an,xeD, 并且数项级数∑a收敛,则∑un(x)在D上一致收敛

定理 10.2.2 (Weierstrass 判别法) 设函数项级数   =1 ( ) n n u x （x D） 的每一项 un (x)满足 │un (x)│ an， xD ， 并且数项级数  n=1 an 收敛，则  =1 ( ) n n u x 在 D 上一致收敛。 函数序列一致收敛的 Cauchy 收敛原理： 函数序列{Sn (x)}在 D 上一致收敛的充分必要条件是：   0， N，m  n N，xD ： │Sm(x) - Sn (x)│ 

证由于对一切x∈D和正整数m>n,有 n(x)+un-2(x)+…+m(x) n+1(x ≤an+1+an+2+…+am 由定理1021和数项级数的 Cauchy收敛原理,即得到∑un(x)在D 上一致收敛 注此时不仅∑u1(x)在D上一致收敛,并且∑un(x)也在D上 致收敛

证 由于对一切 xD 和正整数 m n，有 │ ( ) 1 u x n+ + ( ) 2 u x n+ ++ um (x)│  │ ( ) 1 u x n+ │+ │ ( ) 2 u x n+ │++│um (x)│  n+1 a + an+2 ++am ， 由定理 10.2.1 和数项级数的 Cauchy 收敛原理，即得到  =1 ( ) n n u x 在 D 上一致收敛。 注 此时不仅  =1 ( ) n n u x 在 D 上一致收敛，并且  =1 | ( ) | n n u x 也在 D 上 一致收敛

例10.21若∑an绝对收敛,则∑ a. cos nx与∑ a. sin nx在 n=1 (-a+0)上一致收敛。如:∑a(p>1),∑(D等函数项级 n 数都在(-∞,+∞)上一致收敛

例 10.2.1 若   n=1 an 绝对收敛，则   =1 cos n an nx 与   =1 sin n an nx 在 (−,+) 上一致收敛。如：  =1 cos n p n nx （p  1），  = + − 1 2 1 ( 1) sin n n n nx 等函数项级 数都在(−,+) 上一致收敛

例10.22函数项级数∑xe(>1)在+)上一致收敛。 证记 则=x70,可知(在x=处达到最大值(2),即 ≤ln(x)≤ x∈[0,+∞) 由于a>1,正项级数∑()1收敛,由 Weierstrass别法, ∑x"e-n(a>1)在[0+∞)上一致收敛

例 10.2.2 函数项级数 1 e nx n x   − =  (  1)在[0,+)上一致收敛。 证 记 ( ) e nx n u x x  − = ， 则 1 ( ) e ( ) nx n u x x nx   − −  = − 。可知u (x) n 在 n x  = 处达到最大值 1 e n          ，即 1 0 ( ) e n u x n            ， x [0,+)。 由 于  1 ， 正 项 级 数 1 1 n e n     =        收 敛 ， 由 Weierstrass 判 别 法 ， 1 e nx n x   − =  (  1)在[0,+)上一致收敛

例10.2.3函数项级数∑xe(00,对于任意的自然数N,可取m=2n(n>N)与 xn=∈D+∞),由于a≤1,于是成立 ∑v1(xn)≥nxne 由定理10.2.1,函数项级数∑n(x)在[0+∞)上非一致收敛

例 10.2.3 函数项级数 1 e nx n x   − =  (0 1)    在[0,+)上非一致收敛。 证 记 ( ) e nx n u x x  − = ， 我们证明  =1 ( ) n n u x 在[0,+)上不满足定理 10.2.1（函数项级数一致收敛 的 Cauchy 收敛原理）的条件。注意到有不等式  = = + n k n k u x 2 1 ( ) ( 1) e n x x  − + + ( 2) e n x x  − + + + 2 e nx x  −  2 e nx nx  − ， 取 2 0  e 0 − =  ， 对 于 任 意 的 自 然 数 N ， 可 取 m = 2n (n  N) 与 = 0,+) 1 n xn ，由于 1，于是成立   = + n k n k n u x 2 1 ( ) 2 e n nx n nx  − 2 0 e  −  = 。 由定理 10.2.1，函数项级数  =1 ( ) n n u x 在[0,+)上非一致收敛

定理10.2.3设函数项级数∑an(x)b(x)(x∈D)满足如下两个条 n=1 件之一,则∑an(x)b,(x)在D上一致收敛。 (1)(Abe判别法)函数序列{an(x)}对每一固定的x∈D关于n 是单调的,且{a(x)}在D上一致有界 an(x)|≤M,x∈D,neN 同时,∑b(x)在D上一致收敛。 (2)( Dirichlet判别法)函数序列{an(x)}对每一固定的x∈D关于 n是单调的,且{an(x)}在D上一致收敛于0;同时,函数项级数∑bn(x) 的部分和序列在D上一致有界: ∑b(x)≤M,x∈D,neN

定理 10.2.3 设函数项级数  =1 ( ) ( ) n n n a x b x （xD）满足如下两个条 件之一，则  =1 ( ) ( ) n n n a x b x 在 D 上一致收敛。 ⑴ （Abel 判别法）函数序列{an (x)}对每一固定的 xD 关于 n 是单调的，且{an (x)}在 D 上一致有界： │an (x)│M， xD，nN + ； 同时，  =1 ( ) n n b x 在 D 上一致收敛。 ⑵ （Dirichlet 判别法）函数序列{an (x)}对每一固定的 xD 关于 n 是单调的，且{an (x)}在 D 上一致收敛于 0；同时，函数项级数  =1 ( ) n n b x 的部分和序列在 D 上一致有界： = n k k b x 1 ( ) M， xD，nN +