《数学分析》课程电子教案（PPT课件）第十四章 曲线积分、曲面积分与场论（14.4）微分形式的外微分

§4微分形式的外微分 外微分 设UcR为区域,f(x1,x2…,x,)为U上的可微函数,则它的全微 分为 f 这可以理解为一个0-形式作微分运算后成为1-形式

外微分 设 n U  R 为区域， f x x xn ( , , , ) 1 2  为U 上的可微函数，则它的全微 分为 1 d d n i n i f f x = x  =   。 这可以理解为一个 0-形式作微分运算后成为 1-形式。 §4 微分形式的外微分

现在将微分运算d推广到∧上去。对∧中的任意一个k-形式 O 12…,k (x)dx,∧d 定义 d ∑ (x))∧dx;^dx;入…∧dx ∑∑ Isi<i2<<ksn i=l ax. u, ad 同时,对空间A=A+A++A上的任意一个元素 0:∈ 定义 do=do+da1+…+dono 这样的微分运算d称为外微分

现在将微分运算d推广到 k 上去。对 k  中的任意一个 k-形式 1 2 1 2 1 2 , , , 1 ( )d d d k k k i i i i i i i i i n  g x x x x      =     ， 定义 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 ,,, 1 ,,, 1 1 d (d ( )) d d d d d d d k k k k k k i i i i i i i i i n n i i i i i i i i i i n i i g x x x x g x x x x x            = =      =         。 同时，对空间 =  +  + + 0 1  n 上的任意一个元素 i  = 0 +1 ++ n , i   ， 定义 0 1 d d d d     = + + + n。 这样的微分运算d称为外微分

显然,微分运算d:A→A具有线性性,即d(ao+Bm)=ado+Bdn, O,n∈A,其中a,B为常数。 由定义可直接得到 d(dx, Adx,A…∧dx)=d(ldx^dx,A…∧dx,) (dl)∧dx2dx

显然，微分运算 d : → 具有线性性，即 d( ) d d       + = + , ,  ，其中, 为常数。 由定义可直接得到 1 2 1 2 1 2 d(d d d ) d(1d d d ) (d1) d d d 0 k k k i i i i i i i i i x x x x x x x x x    =    =     =

显然,微分运算d:A→A具有线性性,即d(ao+Bm)=ado+Bdn, O,n∈A,其中a,B为常数 由定义可直接得到 d(dx.∧dx dx,)=d(ldx1∧dx (dl)∧dx2^dxA…∧dx=0 例14.4.1设=P(x,y)dx+Qx,y)dy为R2上的1-形式,则 P aP dO=(dP)∧dx+(dQ)∧dy or (x+ordy adr+ao, dy ady oy ax a P Q dy∧dx+dx∧dy ag aP ∧dy ax oy

例 14.4.1 设  = + P x y x Q x y y ( , )d ( , )d 为 2 R 上的 1-形式，则 d (d ) d (d ) d d d d d d d d d d d d d P P Q Q P x Q y x y x x y y x y x y P Q Q P y x x y x y y x x y          =  +  = +  + +                    =  +  = −          。 显然，微分运算 d : → 具有线性性，即 d( ) d d       + = + , ,  ，其中, 为常数。 由定义可直接得到 1 2 1 2 1 2 d(d d d ) d(1d d d ) (d1) d d d 0 k k k i i i i i i i i i x x x x x x x x x    =    =     =

例14.4.2设o=P(x,y,)dx+Q(x,y,z)dy+R(x,y,)d为R3上的1-形 式,贝 do=(dP)ndx+(do)ady+(dr)adz aP. aP a P dx t d a 8 Q o y y OR. aR a R d+∧d Ox dy∧d aP OR ∧X xd y d ay az az ax ax ay

例 14.4.2 设  = + + P x y z x Q x y z y R x y z z ( , , )d ( , , )d ( , , )d 为 3 R 上的 1-形 式，则d (d ) d (d ) d (d ) d  =  +  +  P x Q y R z d d d d d d d d d d d d d d d d d d P P P Q Q Q x y z x x y z y x y z x y z R R R x y z z xyz R Q P R Q P y z z x x y y z z x x y           = + +  + + +                     + + +                     = −  + −  + −                   

例14.4.3设o=P(x,y,z)dy∧d+Q(x,y,z)d^dx+R(x,y,z)dx^dy为R3 上的2-形式,则 do=(dP)ady adz+(do)a dz a dx+(dr)a dx ady ap. ap aP dx t d∧dy~d dy+ dzdz∧dx ax az OR aR dx t dy+d=|dx入dr aP, ag, aR dx∧dv∧dz ax y ax ay a

例 14.4.3 设  =  +  +  P x y z y z Q x y z z x R x y z x y ( , , )d d ( , , )d d ( , , )d d 为 3 R 上的 2-形式，则 d (d ) d d (d ) d d (d ) d d  =   +   +   P y z Q z x R x y d d d d d d d d d d P P P Q Q Q x y z y z x y z z x x y z x y z           = + +   + + +                 d d d d d R R R x y z x y xyz      + + +          d d d P Q R x y z x y z      = + +         

下面列出外微分的两个性质。 性质1设o为k形式,n为l形式,则 d(O入m)=dOAn+(-1)O∧dn 证由于d的线性性质,只要证明 Q=a(x)dx∧dx1,入…∧dx,7=b(x)dxdx,…∧dx 的情形即可。这时 d(O∧m)=d(a(x)b(x)Adx1^dx,A…Adx1Adx1dx1,A…dx =d(a(x)b(x)dx1^dx2…dx4 adx. adx2A…Adxn ∑|b4x+a0 dx, Adx,Adx…^ d x. adx1AdA…Adx bdx|dx~x2A… Adx, Adx, a A…人x =I ax ab +(-)(odAd2A…dx)∑ cx.∧dx.∧dx:∧…^dx x =d∧n+(-1)O^dn

下面列出外微分的两个性质。 性质 1 设为 k-形式， 为 l-形式，则 d( ) d ( 1) d k        =  + −  。 证 由于d 的线性性质，只要证明 1 2 1 2 ( )d d d , ( )d d d k l i i i j j j   =    =    a x x x x b x x x x 的情形即可。这时 1 2 1 2 1 2 1 2 d( ) d( ( ) ( ) d d d d d d ) d( ( ) ( )) d d d d d d k l k l i i i j j j i i i j j j a x b x x x x x x x a x b x x x x x x x   =         =         1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 d d d d d d d d d d d d d d d ( 1) ( d d d ) d d d k l k l k l n i i i i i j j j i i i n i i i i j j j i i n k i i i i j j j i i a b b x a x x x x x x x x x a b x x x x x x x x b a x x x dx x x x x = = =     = +                  =                 + −                 d ( 1) d k =  + −     

在以下讨论中,总假设微分形式的系数都具有二阶连续偏导数 设O∈A,定义d2o=ddo)。 例14.4.4设f∈A为0形式,则df=0 证由于/具有二阶连续偏导数,因此=0。所以 ax, ax, ax, ax, d f=d(d)dl s osdx ∑∑。=∑ dx.∧dx.=0 ax.a ax, dx

在以下讨论中，总假设微分形式的系数都具有二阶连续偏导数。 设   ，定义 2 d d(d )   = 。 例 14.4.4 设 f  0为 0-形式，则 2 d 0 f = 。 证 由于 f 具有二阶连续偏导数，因此 i j j i x x f x x f    =    2 2 。所以 2 1 2 2 2 1 1 d d(d ) d d d d d d 0 . n i i i n n j i i j i j i j j i i j j i f f f x x f f f x x x x x x x x x x = = =     = =           =  = −  =               

性质2对任意a∈A,有d2a=0。 证由于d的线性性质,只要证明 0=a(x) dx, Adx2个…dx=以(x)dx1~dx2A…Adx 的情形即可。这时 do=d(a(x)∧dx∧dxA…∧dx,)=(dm(x)∧ dx. Adx.A…∧dx,, 由性质1和例1444的结果, d2o=d(do)=(d2a)Adx^dx2A…^dx1-(da)d(dx,Adx,个…Adx) =0A∧dx,Adx2A…∧dx1-(da)0=0

性质 2 对任意  ，有 2 d 0  = 。 证 由于d的线性性质，只要证明 1 2 1 2 ( )d d d ( ) d d d k k i i i i i i  =    =     a x x x x a x x x x 的情形即可。这时 1 2 1 2 d d( ( ) d d d ) (d ( )) d d d k k i i i i i i  =     =     a x x x x a x x x x ， 由性质 1 和例 14.4.4 的结果， 1 2 1 2 1 2 2 2 d d(d ) (d ) d d d (d ) d(d d d ) 0 d d d (d ) 0 0 k k k i i i i i i i i i a x x x a x x x x x x a   = =     −     =     −  =

外微分的应用 首先看 Green公式 ao aP Pdx+Od dxd 6x0 D y 其中ωD取D的诱导定向。将dx∧dy看成正面积元素drdy,上式就可以 表示为 00 aP Pdx+Ody dx∧dy ax ay 由例1441,对于1-形式o=P(x,y)dx+Q(x,y)dy,上式就是 do D

外微分的应用 首先看 Green 公式 d d d d Q P P x Q y x y x y      + = −         D D ， 其中D取 D的诱导定向。将d d x y  看成正面积元素d dx y ，上式就可以 表示为 d d d d Q P P x Q y x y x y      + = −          D D 。 由例 14.4.1，对于 1-形式 = + P x y x Q x y y ( , )d ( , )d ，上式就是  d  =   D D