《数学分析》课程电子教案（PPT课件）第三章 函数极限与连续函数（3.3）无穷小量与无穷大量的阶

§3无穷小量与无穷大量的阶 无穷小量的比较 定义3.3.1若inf(x)=0,则称当x→x时f(x)是无穷小量。 →x 无穷小量是以零为极限的变量。这里的极限过程x→>x0可以扩 充到x→>x+、x -∞等情况

§3 无穷小量与无穷大量的阶 无穷小量的比较 定义3.3.1 若 lim x→x0 f x( ) 0 = ，则称当 x → x 0 时 f (x) 是无穷小量。 无穷小量是以零为极限的变量。这里的极限过程 x → x 0 可以扩 充到 0 x x → +、 0 x −、、+、− 等情况

§3无穷小量与无穷大量的阶 无穷小量的比较 定义3.3.1若inf(x)=0,则称当x→x时f(x)是无穷小量。 →x 无穷小量是以零为极限的变量。这里的极限过程x→>x0可以扩 充到x→>x+、x -∞等情况 设(x),v(x)是两个变量,当x→x时,它们都是无穷小量。为 了比较两者趋于零的速度快慢,我们讨论的极限情况: v(x

§3 无穷小量与无穷大量的阶 设 u(x) ,v(x) 是两个变量，当 x → x 0 时，它们都是无穷小量。为 了比较两者趋于零的速度快慢，我们讨论 u x v x ( ) ( ) 的极限情况： 无穷小量的比较 定义3.3.1 若 lim x→x0 f x( ) 0 = ，则称当 x → x 0 时 f (x) 是无穷小量。 无穷小量是以零为极限的变量。这里的极限过程 x → x 0 可以扩 充到 0 x x → +、 0 x −、、+、− 等情况

(1)若lmx)=0,则称当x→x时,x)关于m(x)是高阶无 x少x0v(x) 穷小量(或v(x)关于(x)是低阶无穷小量),记为 l(x)=o(v(x)(x→>x0)

(1) 若 lim x→x0 ( ) 0 ( ) u x v x = ，则称当 x → x 0 时， u(x)关于 v(x) 是高阶无 穷小量（或v(x) 关于u(x)是低阶无穷小量），记为 u x( ) =o v x ( ( ))（ x → x 0 ）

(1)若lmx)=0,则称当x→x时,x)关于m(x)是高阶无 x少x0v(x) 穷小量(或v(x)关于(x)是低阶无穷小量),记为 l(x)=o(v(x)(x→>x0) 例如 1-coS x 2 sin Im = lim =0可表示为 x→0 x→ 1-cosx=o(x)(x→>0)。 tanx-sinx li m(smx.1-osx)=0可表示为 x→0 X cosx x tanx-sinx=o(x2)(x→0)

例如 lim x→0 1− cos x x = lim x→0 2 2sin 2 0 x x = 可表示为 1 cos − =x o x( )（ x →0）。 lim x→0 2 tan sin x x x − 0 lim x→ = sin 1 cos 0 cos x x x x x   −    =   可表示为 tan x -sin x = 2 o x( ) ( x →0 ) 。 (1) 若 lim x→x0 ( ) 0 ( ) u x v x = ，则称当 x → x 0 时， u(x)关于 v(x) 是高阶无 穷小量（或v(x) 关于u(x)是低阶无穷小量），记为 u x( ) =o v x ( ( ))（ x → x 0 ）

(2)若存在A>0,当x在x的某个去心邻域中,成立 u(x x0)

(2) 若存在 A 0 ，当 x 在 x 0 的某个去心邻域中，成立 ( ) ( ) u x A v x  ， 则称当 x → x 0 时， u x v x ( ) ( ) 是有界量，记为 u x( ) = O v x ( ( )) ( x → x 0 )

(2)若存在A>0,当x在x的某个去心邻域中,成立 u(x x0) 例如 xsin x→0时,xsin与x都是无穷小量,且x≤1,所以 xsin-=O(x)(x→0)

例如 当 x →0时, 1 x sin x 与x都是无穷小量，且 1 sin 1 x x x  ，所以 1 x sin x = O x( ) ( x →0 )。 (2) 若存在 A 0 ，当 x 在 x 0 的某个去心邻域中，成立 ( ) ( ) u x A v x  ， 则称当 x → x 0 时， u x v x ( ) ( ) 是有界量，记为 u x( ) = O v x ( ( )) ( x → x 0 )

若又存在a>0,当x在x的某个去心邻域中,成立 u(x <A, v(x) 则称当x→x0时,v(x)与v(x)是同阶无穷小量。 显然,若Im=c≠0,则m(x)与n(x)必是同阶无穷小量。 x+xo v(x

若又存在 a  0 ，当 x 在 x 0 的某个去心邻域中，成立 ( ) ( ) u x a A v x   ， 则称当x → x 0 时，u x( ) 与v(x) 是同阶无穷小量。 显然，若 lim x→x0 ( ) 0 ( ) u x c v x =  ，则 u x( ) 与 v(x) 必是同阶无穷小量

)若 Im 1,称当x→x时,v(x)与v(x)是等价无穷小量 v(x) 记为 u(xv(x x→x 上式也可写成 u(x)=v(x)+o(v(x))(x>xo) 它表示当x→>x0时,v(x)与v(x)并不一定相等,两者相差一个关于v(x) 的高阶无穷小量

(3) 若 lim x→x0 ( ) 1 ( ) u x v x = ，称当 x → x 0 时， u x( ) 与 v(x) 是等价无穷小量， 记为 u x( ) ～v(x) ( x → x 0 ) 上式也可写成 u x( ) =v(x) +o v x ( ( )) ( x → x 0 )， 它表示当 x → x 0 时，u x( ) 与v(x) 并不一定相等，两者相差一个关于v(x) 的高阶无穷小量

例如 lim=1可表示为 sinx~x(x→>0),或者sinx=x+o(x)(x→>0); 2 COSX lim im-2=1可表示为 x→0 x→》0 x 2 1-cosx~x2(x→>0),或者1-cosx=x2+o(x2)(x→>0); tanx-sinx sinx 1-cos x lim lim 1可表示为 x→>0 x→0 xx tanx-sinx 2x(x→>0),或者 tan x-sinx 2x+o(x)(x→>0)

例如 lim x→0 sin x x = 1可表示为 sin x x  ( x →0 ) , 或者 sin x x = + o x( ) ( x →0 )； lim x→0 1 1 2 2 − cos x x = lim x→0 2 2 2sin 2 1 2 x x = 可表示为 1 cos − x～ 1 2 2 x ( x →0 ), 或者 1 cos − =x 1 2 2 x + 2 o x( ) ( x →0 ) ； lim x→0 3 tan sin 1 2 x x x − = lim x→0 2 sin 1 cos 1 cos 2 x x x x x     −    =     可表示为 tan sin x x − ～ 1 2 3 x ( x →0 ), 或者 tan sin x x − = 1 2 3 x + 3 o x( ) ( x →0 )

注记号“o”、“O”和“~”都是相对于一定的极限过程的, 般来说,在使用时应附上记号“(x→x0)”’以说明相应的极限过程。 有在意乂明确,不会发生误解的前题下才能省略

注 记号“o”、“O”和“～”都是相对于一定的极限过程的， 一般来说，在使用时应附上记号“( x → x 0 )”，以说明相应的极限过程。 只有在意义明确，不会发生误解的前题下才能省略