《数学分析》课程电子教案（PPT课件）第三章 函数极限与连续函数（3.2）连续函数

§2连续函数 连续函数的定义 定义3.2.1设函数f(x)在点x0的某个邻域中有定义,并且成立 lim f(x)=f(xo) 则称函数f(x)在点x连续,而称x是函数f(x)的连续点 “函数f(x)在点x连续”的符号表述(或称“E-0”表述): VE>0,38>0, Vx(Ix-xok8): If(x)-f(xo)k8

§2 连续函数 连续函数的定义 定义3.2.1 设函数 f (x) 在点 x 0 的某个邻域中有定义，并且成立 lim x→x0 f (x) = f (x ) 0 ， 则称函数 f (x) 在点 x 0 连续，而称 x 0 是函数 f (x) 的连续点。 “函数 f (x) 在点 x0 连续”的符号表述（或称“ − ”表述）：    0，   0， x ( 0 | | x x −   ) ： 0 | ( ) ( ) | f x f x −  

§2连续函数 连续函数的定义 定义3.2.1设函数f(x)在点x0的某个邻域中有定义,并且成立 lim f(x)=f(xo) 则称函数f(x)在点x连续,而称x是函数f(x)的连续点 “函数f(x)在点x连续”的符号表述(或称“E-0”表述): VE>0,38>0, Vx(Ix-xok8): If(x)-f(xo)k8 定义3.2.2若函数f(x)在区间(a,b)的每一点都连续,则称函数 f(x)在开区间(a,b)上连续

§2 连续函数 定义3.2.2 若函数 f (x) 在区间(a,b)的每一点都连续，则称函数 f (x) 在开区间(a,b)上连续。 连续函数的定义 定义3.2.1 设函数 f (x) 在点 x 0 的某个邻域中有定义，并且成立 lim x→x0 f (x) = f (x ) 0 ， 则称函数 f (x) 在点 x 0 连续，而称 x 0 是函数 f (x) 的连续点。 “函数 f (x) 在点 x0 连续”的符号表述（或称“ − ”表述）：    0，   0， x ( 0 | | x x −   ) ： 0 | ( ) ( ) | f x f x −  

例3.2.1函数f(x)=在区间(0,1)上连续。 证设x是(0,1)中任意一点。对于任意给定的E>0,要找δ>0, 使得当|x-x0k,从而 2 2 Xxo> 2 取δ -mini o xa},当x-xδ时 x < 所以f()=在(O,1)上连续。 x 证毕

例3.2.1 函数 f x( ) = 1 x 在区间(0, 1)上连续。 证 设 x 0 是(0, 1)中任意一点。对于任意给定的  0，要找  0， 使得当 0 | | x x −   时，有 0 1 1 x x − = 0 0 xx x − x  。 为了放大左边不等式，加上条件 | x x | x − 0  0 2 ，于是 x x  0 2 ，从而 xx x 0 0 2 2  。 取 = min        2 , 2 2 0 0 x x ，当|x − x0 |  时， 0 1 1 x x − = 0 0 xx x − x 0 2 0 2 | | x x x  −   ， 所以 f (x) = 1 x 在(0, 1) 上连续。 证毕

为了讨论函数在闭区间上的连续性,需要单侧连续的概念: 定义3.2.3 若imf(x)=f(x),则称函数f(x)在x左连续; x→x0 若inf(x)=f(x),则称函数f(x)在x右连续。 x→xa imf(x)=f(x)可表述为:E>0,3δ>0,yx(-80,3δ>0,Vx(0≤x-xn<δ): f(x)-f(coke

为了讨论函数在闭区间上的连续性，需要单侧连续的概念： 定义3.2.3 若 lim x→x0 − f (x) = f (x ) 0 ，则称函数 f (x) 在 x 0 左连续； 若 lim x→x0 + f (x) = f (x ) 0 ，则称函数 f (x) 在 x 0 右连续。 lim x→x0 − f (x) = f (x ) 0 可表述为：   0，   0， x（ 0 −  −   x x 0）： 0 | ( ) ( ) | f x f x −   ； lim x→x0 + f (x) = f (x ) 0 可表述为：   0，   0， x（ 0 0  −  x x  ）： 0 | ( ) ( ) | f x f x −  

为了讨论函数在闭区间上的连续性,需要单侧连续的概念: 定义3.2.3 若imf(x)=f(x),则称函数f(x)在x左连续; x→x0 若inf(x)=f(x),则称函数f(x)在x右连续 x→xa imf(x)=f(x)可表述为:E>0,3δ>0,yx(-80,3δ>0,Vx(0≤x-xn<δ): f(x)-f(coke 定义3.2.4若f(x)在(a,b)连续,且在左端点a右连续,在右端点 b左连续,则称函数f(x)在闭区间ab上连续

定义3.2.4 若 f (x) 在(a,b)连续，且在左端点a右连续，在右端点 b左连续，则称函数 f (x) 在闭区间[a,b]上连续。 为了讨论函数在闭区间上的连续性，需要单侧连续的概念： 定义3.2.3 若 lim x→x0 − f (x) = f (x ) 0 ，则称函数 f (x) 在 x 0 左连续； 若 lim x→x0 + f (x) = f (x ) 0 ，则称函数 f (x) 在 x 0 右连续。 lim x→x0 − f (x) = f (x ) 0 可表述为：   0，   0， x（ 0 −  −   x x 0）： 0 | ( ) ( ) | f x f x −   ； lim x→x0 + f (x) = f (x ) 0 可表述为：   0，   0， x（ 0 0  −  x x  ）： 0 | ( ) ( ) | f x f x −  

例3.2.2f(x)=√x(1-x)在闭区间0上连续。 证设x0∈(0,1)是任意一点,令n=min{x0,1-x}>0,当|x-xkn时 x∈(0,1),因而 x(1-x)-√x0(1-x0) X-x (1-x)+√x0(1-x0) x(1-x0) 对任意给定的c>0,取δ=min{n,√(1-x)},当x-xk6时,成 M (1-x)-√x0(1-x0) (1 x-xo<e 6(1-x) 所以f(x)=√x(1-x)在(O,1)上连续

例3.2.2 f (x) = x(1− x) 在闭区间[0,1]上连续。 证 设 0 x (0,1)是任意一点，令 = min { x 0 , 0 1− x }  0，当 0 | | x x −  时， x(0,1)，因而 | x(1− x) - x x 0 1 0 ( − ) | = | | ( ) ( ) 1 1 1 0 0 0 − − − + − x x x x x x | x − x | 0 0 0 1 x x (1 )  − | x − x | 0 。 对任意给定的  0，取 = min { ， 0 0 x x (1 ) −  ｝，当 0 | | x x −   时，成 立 | x(1− x) - x x 0 1 0 ( − ) | 0 0 1 x x (1 )  − | x − x | 0  ， 所以 f (x) = x(1− x) 在(0,1)上连续

现考虑区间的端点,对任意给定的>0,取δ=E2, 则当0≤x<δ时, f(x)-f(0) /r <E 而当-δ<x-1≤0时, f(x)-f(1) <8 这说明f(x)在x=0右连续,在x=1左连续。 由此得出f(x)=√x(1-x)在闭区间[0,n上连续

现考虑区间的端点，对任意给定的   0 ，取 2   = ， 则当0  x  时， | ( ) (0) | f x f x −    ； 而当−  −   x 1 0时， | ( ) (1) | 1 f x f x −  −   。 这说明 f (x) 在 x = 0右连续，在 x =1左连续。 由此得出 f (x) = x(1− x) 在闭区间[0,1]上连续

注上述定义3.2.1至定义3.2.4可统一地表示为如下形式 设函数f(x)定义在某区间ⅹ上(x可以是开区间,闭区间或半开半 闭区间)。如果x0∈X与vE>0,3δ>0,∨x∈X(x-x<) f(x)-f(x0)<,则称函数f(x)在区间x上连续

注 上述定义 3.2.1 至定义 3.2.4 可统一地表示为如下形式： 设函数 f (x)定义在某区间 X 上（ X 可以是开区间，闭区间或半开半 闭区间）。如果x0  X 与  0，  0， ( ) x X x − x0   ： ( ) − ( )   0 f x f x ，则称函数 f (x)在区间 X 上连续

注上述定义3.2.1至定义3.2.4可统一地表示为如下形式: 设函数f(x)定义在某区间X上(X可以是开区间,闭区间或半开半 闭区间)。如果x∈X与vE>0,38>0,Wx∈X(x-x0,取δ=E,当x-xnkδ时,成立 sinx-sin xo <x-xo<eo 所以f(x)=sinx在(-∞,+∞)上连续 同样可以按定义证明f(x)=cosx在(-∞,+∞)上连续

例3.2.3 f x x ( ) sin = 在 (−,+) 上连续。 证 设 x0 (−,+) 是任意一点，由于 | 0 sin sin x x − | = 0 0 2 cos sin 2 2 x x x x + −  | x − x | 0 ， 对任意给定的  0，取  = ，当 0 | | x x −   时，成立 | 0 sin sin x x − | 0  − | | x x  。 所以 f x x ( ) sin = 在(−,+) 上连续。 同样可以按定义证明 f x x ( ) cos = 在 (−,+) 上连续。 注 上述定义 3.2.1 至定义 3.2.4 可统一地表示为如下形式： 设函数 f (x)定义在某区间 X 上（ X 可以是开区间，闭区间或半开半 闭区间）。如果x0  X 与  0，  0， ( ) x X x − x0   ： ( ) − ( )   0 f x f x ，则称函数 f (x)在区间 X 上连续

例3.24指数函数f(x)=a(a>0,a≠1)在(-∞,+)上连续。 证首先,对任意一点x0∈(-0,+9),有 所以证lma=a就归结为证lima'=1。 x→x t→0 若t→0+,则当a>1时,成立 因lim√a=1,由极限的夹逼性,得到 n→00 lima2=1。 t→0+

例 3.2.4 指数函数 f (x) =a x （a a   0, 1）在(−,+) 上连续。 证 首先，对任意一点x0 (−,+) ，有 x a − a x0 =a x0 ( 0 1 x x a − − )。 所以证 lim x→x0 a x =a x0 就归结为证lim t→0 1 t a = 。 若t → +0 ，则当a 1时，成立 1 t   a       t a 1 1 ， 因lim n→ 1 n a = ，由极限的夹逼性，得到 lim t→0+ 1 t a =