《数学分析》课程电子教案（PPT课件）第二章 数列极限（2.3）无穷大量

§3无穷大量 无穷大量 随着n的增大,通项的绝对值也无限地增大的数列称为无穷大 量,其严格的分析定义为 定义2.3.1若对于任意给定的G>0,可以找到正整数N,使得 当n>N时成立 则称数列{xn}是无穷大量,记为 lim x n→)0

无穷大量 随着 n 的增大，通项的绝对值也无限地增大的数列称为无穷大 量，其严格的分析定义为： 定义2.3.1 若对于任意给定的G  0,可以找到正整数 N ，使得 当n  N 时成立 n x G ， 则称数列｛ x n ｝是无穷大量，记为 lim n n x → = 。 §3 无穷大量

§3无穷大量 无穷大量 随着n的增大,通项的绝对值也无限地增大的数列称为无穷大 量,其严格的分析定义为 定义2.3.1若对于任意给定的G>0,可以找到正整数N,使得 当n>N时成立 则称数列{xn}是无穷大量,记为 lim x n→)0 符号表述法 数列{xn}是无穷大量”:G>0,彐N,Vn>N:|xn|>G

无穷大量 随着 n 的增大，通项的绝对值也无限地增大的数列称为无穷大 量，其严格的分析定义为： 定义2.3.1 若对于任意给定的G  0,可以找到正整数 N ，使得 当n  N 时成立 n x G ， 则称数列｛ x n ｝是无穷大量，记为 lim n n x → = 。 符号表述法 “数列{ x n }是无穷大量”：G  0，  N ，  n  N ：｜x n ｜ G。 §3 无穷大量

注 (1)与极限定义中ε表示任意给定的很小的正数相类似,这里 的G表示任意给定的很大的正数 2)如果无穷大量{x,}从某一项开始都是正的(或负的),则 称其为正无穷大量(或负无穷大量),统称为定号无穷大量,分别记 为 limx=+∞(或limx,=-∞0)。 n→)①0 n→0 例如:{n2}是正无穷大量,{-10}是负无穷大量,而{(-2)”} 是(不定号)无穷大量

注 (1) 与极限定义中  表示任意给定的很小的正数相类似，这里 的G 表示任意给定的很大的正数。 (2) 如果无穷大量｛ x n ｝从某一项开始都是正的(或负的)，则 称其为正无穷大量(或负无穷大量)，统称为定号无穷大量，分别记 为 lim n n x → = + (或 lim n n x → = − )。 例如：{n 2 }是正无穷大量，{ n −10 }是负无穷大量，而｛(−2) n ｝ 是(不定号)无穷大量

例2.3.1设q}1,证明{q”}是无穷大量。 证 VG>1, 取N=gG 您/于是 n>N,成立 lgg qP丬q|=G 因此{q”}是无穷大量

例2.3.1 设 | q | 1 ，证明{ q n }是无穷大量。 证 G  1，取       = lg| | lg q G N , 于是 n  N ，成立 n | q | lg| | lg | | q G  q = G。 因此{q n }是无穷大量

例2.3.1设q}1,证明{q”}是无穷大量。 证 VG>1, 取N=gG 您/于是 n>N,成立 lgg qP丬q|=G。 因此{q”}是无穷大量。 例2.3.2证明 是正无穷大量 n+5 证当n>5时,有不等式 n+ ⊥々 于是vG>0,取N=max{[2G,5},Vn>N,成立 n+52 因此-是正无穷大量。 n+5

例2.3.2 证明       + − 5 1 2 n n 是正无穷大量。 证 当 n  5时，有不等式n n 2 1 5 − + 2 n  ， 于是G  0，取 N = max{[2G], 5},  n  N ，成立 n n 2 1 5 − + 2 n   G。 因此       + − 5 1 2 n n 是正无穷大量。 例2.3.1 设 | q | 1 ，证明{ q n }是无穷大量。 证 G  1，取       = lg| | lg q G N , 于是 n  N ，成立 n | q | lg| | lg | | q G  q = G。 因此{q n }是无穷大量

无穷大量与无穷小量之间的关系: 定理2.3.1设x,≠0,则{x,}是无穷大量的充分必要条件是 是无穷小量 证设{x,}是无穷大量,V>0,取G=1>0,于是3N, E Vn>w xn|>G=1,从而10,取E=>0,于是彐N, Vn>N: G,即(x}是无穷大量 证毕

无穷大量与无穷小量之间的关系： 定理2.3.1 设 x n ≠0，则｛ x n ｝是无穷大量的充分必要条件是       n x 1 是无穷小量。 证 设{ x n }是无穷大量，   0，取 0 1 =   G ，于是  N ，  n  N ： ｜ x n ｜ G 1  = ，从而 n x 1  ，即       n x 1 是无穷小量。 反过来，设       n x 1 是无穷小量，G  0，取 0 1 =  G  ，于是  N ，  n  N ：  n x 1 1 G  = ，从而｜ x n ｜ G，即｛ x n ｝是无穷大量。 证毕

关于无穷大量的运算性质: 同号无穷大量之和仍然是该符号的无穷大量,而异号无穷大量 之差是无穷大量,其符号与被减无穷大量的符号相同 无穷大量与有界量之和或差仍然是无穷大量; 同号无穷大量之积为正无穷大量,而异号无穷大量之积为负无 穷大量

关于无穷大量的运算性质： 同号无穷大量之和仍然是该符号的无穷大量，而异号无穷大量 之差是无穷大量，其符号与被减无穷大量的符号相同； 无穷大量与有界量之和或差仍然是无穷大量； 同号无穷大量之积为正无穷大量，而异号无穷大量之积为负无 穷大量

定理2.3.2设{xn}是无穷大量,若当n>N时,y≥>0 成立,则{xyn}是无穷大量 推论设{xn}是无穷大量,lmyn=b≠0,则{xmn}与{}都是 无穷大量

定理2.3.2 设 { }n x 是无穷大量，若当 n  N0 时, yn    0 成立，则{ } n n x y 是无穷大量。 推论 设{ }n x 是无穷大量，lim 0 n n y b → =  ，则{ } n n x y 与       n n y x 都是 无穷大量

定理2.3.2设{xn}是无穷大量,若当n>N时,y≥>0 成立,则{xyn}是无穷大量 推论设{xn}是无穷大量,lmyn=b≠0,则{xmn}与{}都是 无穷大量 例题 lim(10+√n) n→0 lim√ n arc tan n=+∞ lin SIn n

定理2.3.2 设 { }n x 是无穷大量，若当 n  N0 时, yn    0 成立，则{ } n n x y 是无穷大量。 推论 设{ }n x 是无穷大量，lim 0 n n y b → =  ，则{ } n n x y 与       n n y x 都是 无穷大量。 例题： limn→ ( n n 10 + )= + ， lim n→       − n n 1 lg = + ， limn→ n arc tan n = + ， limn→ n sin n = 

例2.3.3讨论极限 an+a1n+…+a,1n+a lim n→bon+bn1-+…+b-1n+b 其中k,1为正整数,a0≠0,b0≠0。 an+-+…+ 解 aon^+a1n-1+…401+ab∠k bn+b,n 6,, n+6 由于 a+—+… lim =0≠0, b 可以得到 0,kl

例2.3.3 讨论极限 lim n→ a n a n a n a b n b n b n b k k k k l l l l 0 1 1 1 0 1 1 1 + + + + + + + + − − − −   ， 其中k，l为正整数，a0  0，b0  0。 解 a n a n a n a b n b n b n b k k k k l l l l 0 1 1 1 0 1 1 1 + + + + + + + + − − − −   = + + + + + + + + − − − − − n a a n a n a n b b n b n b n k l k k k k l l l l 0 1 1 1 0 1 1 1   。 由于 lim n→ 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 0 k k k k l l l l a a a a n n n a b b b b b n n n − − − − + + + + =  + + + + ， 可以得到 lim n→ a n a n a n a b n b n b n b k k k k l l l l 0 1 1 1 0 1 1 1 + + + + + + + + − − − −            =  = , . , , 0, , 0 0 k l k l b a k l