《数学分析》课程电子教案（PPT课件）第十六章（16.4）Fourier变换和 Fourier积分

§4 Fourier变换和 Fourier积分 Fourier变换及其逆变换 前面关于 Fourier级数的论述都是对周期函数而言的,那么对于 非周期函数,又该如何处理呢? 在(-,+∞)上可积的非周期函数f(x)可以看成是周期函数的极限 情况,处理思路是这样的: (1)先取f(x)在[-7,上的部分(即把它视为仅定义在[-7,7上 的函数),再以2T为周期,将它延拓为(-0,+∞)上的周期函数f(x); (2)对得到的周期函数f(x)作 Fourier展开 (3)令T趋于无穷大

Fourier 变换及其逆变换 前面关于 Fourier 级数的论述都是对周期函数而言的，那么对于 非周期函数，又该如何处理呢？ 在(−,+) 上可积的非周期函数 f (x)可以看成是周期函数的极限 情况，处理思路是这样的： （1） 先取 f (x)在[−T,T]上的部分（即把它视为仅定义在[−T,T]上 的函数），再以2T 为周期，将它延拓为(−,+) 上的周期函数 f x T ( )； （2） 对得到的周期函数 f x T ( )作 Fourier 展开； （3） 令 T 趋于无穷大。 §4 Fourier变换和Fourier积分

下面叙述处理过程(但省略具体细节)。将 Euler公式 cos e 10X ,S团b、e eeio 代入周期为27的函数f(x)的 Fourier级数,记是圆频率(下面就简 称为频率),o=m,得到 fr(x)+2(an coso, x+bn sin o,x) a-16 +ib

下面叙述处理过程（但省略具体细节）。将 Euler 公式 i i e e cos 2    − + = ， i i e e i i i sin (e e ) 2i 2      − − − = = − − 代入周期为2T 的函数 f x T ( )的 Fourier 级数，记 π T 是圆频率（下面就简 称为频率）， π n n T  = ，得到 f x T ( )   = + + 1 0 ( cos sin ) 2 ~ n n n n n a x b x a   0 i i 1 i i e e 2 2 2 n n n n n n x x n a a b a b    − =   − + = + +     

fr(x)+2(a, coso, x+bn sin o, x) a +ib 2 2 f1(t) (n=1、2,…) 则得到 f∫r(x) (c en+C_e nd 22 这称为 Fourier级数的复数形式

f x T ( )   = + + 1 0 ( cos sin ) 2 ~ n n n n n a x b x a   0 i i 1 i i e e 2 2 2 n n n n n n x x n a a b a b    − =   − + = + +      。 记 0 a0 c = , i n n n c a b = − 1 i ( )e d n T t T T f t t T −  − =  = − c n （n = 1,2, ）， 则得到 f x T ( ) ~ 0 i i 1 1 ( e e ) 2 2 n n x x n n n c c c   + − − = + +  1 i e 2 n x n n c  + =− =  , 这称为 Fourier 级数的复数形式

将cn的表达式代入,即有 f(x) 2T ∑|C,(e n=-00 记△O=on-On1=,于是当T→>+∞时△→0,即得到 f(x)=lim f(x) ∑J △ 2汇 n=一00 记g(0)=J()e-dlx,则上式可写成 f(x)~m∑q(On)O

将 cn 的表达式代入，即有 f x T ( ) ~ 1 i i ( )e d e 2 n n T t x T T n f t t T   + − − =−         。 记 1 π n n T  = − =    − ，于是当T → +时 →0，即得到 f (x) = lim ( ) ~ T T f x →+ i i 0 1 lim ( )e d e 2π n n T t x T T n f t t     + −  → − =−          。 记 1 i i ( ) ( )e d e 2π T t x T T T f t t     − −   =      ，则上式可写成 f (x) ~  + =−  →  n T n   lim ( ) 0

将cn的表达式代入,即有 f(x) 2T ∑|C,(e n=-00 记△O=0.-0,于是当7→+时△m→0,即得到 f(x)=lim f(x) ∑J △ T→+∞ 2汇 记g(0)=J()e-dlx,则上式可写成 f(x)~m∑q(On)O 由于当△o→>0时,gn(o)将随之趋于(o) 2rJ f(e i ot dt e 所以将上式右端看成o(o)在(-∞,+∞)上的“积分”,于是(形式上)就 有 dt d

由于当  →0 时，  () T 将随之趋于 1 i i ( ) ( )e d e 2π t x f t t     +  − −    =      ， 所以将上式右端看成．．() 在(−,+) 上的“积分”，于是（形式上 ．．．）就 有 f (x) ~ 1 i i ( )e d e d 2 t x f t t     + +  − − −         。 将 cn 的表达式代入，即有 f x T ( ) ~ 1 i i ( )e d e 2 n n T t x T T n f t t T   + − − =−         。 记 1 π n n T  = − =    − ，于是当T → +时 →0，即得到 f (x) = lim ( ) ~ T T f x →+ i i 0 1 lim ( )e d e 2π n n T t x T T n f t t     + −  → − =−          。 记 1 i i ( ) ( )e d e 2π T t x T T T f t t     − −   =      ，则上式可写成 f (x) ~  + =−  →  n T n   lim ( ) 0

方括号中的函数 f(o)=f(x)e 称为f的 Fourier变换(或像函数),记为F/门,即 + F[f](O)=f() f(e 10x

方括号中的函数 ˆ i ( ) ( )e dx f f x x   +  − −  =  （  (−,+)） 称为 f 的 Fourier 变换（或像函数），记为F[ f ]，即 ˆ i [ ]( ) ( ) ( )e d , x F f f f x x    +  − −  = = 

方括号中的函数 f(o)=Jf( x)e-ioxdx(o∈( 称为f的 Fourier变换(或像函数),记为F/门,即 + F[f](O)=f() 10x e 函数 (oeo da x∈(-∞,+∞) 2丌 称为的 Fourier逆变换(或像原函数),记为F力,即 FI() f(oelde 2兀

方括号中的函数 ˆ i ( ) ( )e dx f f x x   +  − −  =  （  (−,+)） 称为 f 的 Fourier 变换（或像函数），记为F[ f ]，即 ˆ i [ ]( ) ( ) ( )e d , x F f f f x x    +  − −  = =  函数 1 ˆ i ( )e d 2π x f    +   − （ x (−,+)） 称为 f ˆ 的 Fourier 逆变换（或像原函数），记为 ] ˆ [ 1 F f − ，即 1 i 1 ˆ ˆ [ ]( ) ( )e d 2π x F f x f    +  − −  = 

方括号中的函数 f(o)=f(x)e 称为f的 Fourier变换(或像函数),记为F/门,即 + F[f](O)=f() 10x e 函数 (oeo da x∈(-∞,+∞) 2丌 称为的 Fourier逆变换(或像原函数),记为F力,即 FI() f(oedo 2兀 函数 (eo dz f( dt 2π 2丌J-⊙ 称为∫的 Fourier积分

函数1 i i ( )e d e d 2π t x f t t    + +  − − −         = 1 i ( ) d ( )e d 2π x t f t t   + + −   − − 称为 f 的 Fourier 积分。 方括号中的函数 ˆ i ( ) ( )e dx f f x x   +  − −  =  （  (−,+)） 称为 f 的 Fourier 变换（或像函数），记为F[ f ]，即 ˆ i [ ]( ) ( ) ( )e d , x F f f f x x    +  − −  = =  函数 1 ˆ i ( )e d 2π x f    +   − （ x (−,+)） 称为 f ˆ 的 Fourier 逆变换（或像原函数），记为 ] ˆ [ 1 F f − ，即 1 i 1 ˆ ˆ [ ]( ) ( )e d 2π x F f x f    +  − −  = 

容易想到,在一定条件下,它应与f(x)相等,但研究这些条件 已超出本课程的要求,现在不加证明地给出以下充分条件。 定理16.4.1设函数f在(-∞2+∞)上绝对可积,且在(-∞+∞)中的 任何闭区间上分段可导。则f的 Fourier积分满足:对于任意x∈(-∞,+) 成立 do f(te f∫(x+)+f(x 2

容易想到，在一定条件下，它应与 f (x) 相等，但研究这些条件 已超出本课程的要求，现在不加证明地给出以下充分条件。 定理 16.4.1 设函数 f 在(−,+) 上绝对可积，且在(−,+) 中的 任何闭区间上分段可导。则 f 的Fourier积分满足：对于任意x (−,+) 成立 1 i ( ) d ( )e d 2π x t f t t   + + − − − =   2 f (x+) + f (x−)

所谓在闭区间上分段可导是如下定义的: 定义16.4.1设函数f在a,b]上除有限个点 a=x00 h 和 f∫(x1+h)-f(x m h 都存在(在x0=a只要求上述第二个极限存在,在x=b只要求上述第 个极限存在),那么称f在[a,b上分段可导

所谓在闭区间上分段可导是如下定义的： 定义 16.4.1 设函数 f 在[a, b]上除有限个点 a = x0  x1  x2   xN = b 外均可导，而在 i x （i = 0,1,2,  , N)处 f 的左右极限 ( −) i f x 和 ( +) i f x 都存 在（在 x = a 0 只要求右极限存在，在 xN = b只要求左极限存在），并且 极限 h f x h f x i i h ( ) ( ) lim 0 + − − → − 和 h f x h f x i i h ( ) ( ) lim 0 + − + → + 都存在（在x0 = a只要求上述第二个极限存在，在xN = b只要求上述第 一个极限存在），那么称 f 在[a, b]上分段可导