《数学分析》课程电子教案（PPT课件）第十章（10.3）幂级数

§3幂级数 an(x-x0)”=a+a1(x-x0)+a2(x-x0)2+…+an(x-x0)”+ 这样的函数项级数称为幂级数幂级数的部分和函数S(x)是一个n-1 次多项式。 为了方便,我们通常取x。=0,也就是讨论 a x a+a1x+a2x+.+anx+…, 然后对所得的结果做一个平移x=t-x0,就可以平行推广到x0≠0的情 况

  = − 0 0 ( ) n n n a x x = a0 + ( ) 1 0 a x − x 2 2 0 + a (x − x ) ++ n n a (x x ) − 0 + 这样的函数项级数称为幂级数。幂级数的部分和函数 Sn (x)是一个 n −1 次多项式。 为了方便，我们通常取 0 x = 0, 也就是讨论   n=0 n n a x = a0 + a x1 2 2 + a x ++ n n a x +， 然后对所得的结果做一个平移 x = 0 t − x ，就可以平行推广到 x0  0 的情 况。 §3 幂级数

幂级数的收敛半径 对于幂级数∑anx,首先有 lin 根据数项级数的 Cauchy判别法,当上面的极限值小于1时, ∑anx”绝对收敛;当上面的极限值大于1时,∑anx发散 n=0 令 A=lim 定义 +∞,当A=0, R 当A∈(0,+∞), 当A 则我们有

幂级数的收敛半径 对于幂级数  n=0 n n a x ，首先有 n→ lim n n n |a x | = n→ lim  n an | | ｜x｜， 根据数项级数的 Cauchy 判别法，当上面的极限值小于 1 时，   n=0 n n a x 绝对收敛；当上面的极限值大于 1 时，  n=0 n n a x 发散。 令 A = n→ lim n an | | ， 定义 R =      = +  + +  = , (0, ), 0, 0, , 1 , A A A A 当 当 当 则我们有

定理10.3.1( Cauchy- Hadamard定理)幂级数∑anx"当|xkR (R>0)时绝对收敛;当|x}R时发散。 注意在区间的端点x=±R,幂级数收敛与否必须另行判断

定理 10.3.1（Cauchy - Hadamard 定理）幂级数   n=0 n n a x 当| x | R （R  0）时绝对收敛；当| x | R 时发散。 注意在区间的端点 x =±R，幂级数收敛与否必须另行判断

定理10.3.1( Cauchy- Hadamard定理)幂级数∑anx"当|xkR (R>0)时绝对收敛;当|x}R时发散。 注意在区间的端点x=±R,幂级数收敛与否必须另行判断 对于∑an(x-x),则有平行的结论:幂级数在以x0为中心,以R 为半径的对称区间内绝对收敛,而在该区间外发散。在区间的端点x ±R,幂级数的敛散性必须另行判断。 数R称为幂级数的收敛半径。当R=+∞时,幂级数对一切x都是 绝对收敛的;当R=0时,幂级数仅当x=x0时收敛

对于   = − 0 0 ( ) n n n a x x ，则有平行的结论：幂级数在以 0 x 为中心，以 R 为半径的对称区间内绝对收敛，而在该区间外发散。在区间的端点 0 x ±R，幂级数的敛散性必须另行判断。 数 R 称为幂级数的收敛半径。当R = +时，幂级数对一切 x 都是 绝对收敛的；当 R = 0 时，幂级数仅当 x = 0 x 时收敛。 定理 10.3.1（Cauchy - Hadamard 定理）幂级数   n=0 n n a x 当| x | R （R  0）时绝对收敛；当| x | R 时发散。 注意在区间的端点 x =±R，幂级数收敛与否必须另行判断

例10.31幂级数∑x,∑x,∑mx+1y的收敛半径都是 n=1 n=1 R=1。 ∑x的收敛域是F1,1∑(x=)的收敛域是02];∑nx+1 n=1 的收敛域是(-2,0)

例 10.3.1 幂级数   n=1 n n x ，  = − 1 2 ( 1) n n n x ，  = + 1 ( 1) n n n x 的收敛半径都是 R = 1。  n=1 n n x 的收敛域是[-1,1)；  = − 1 2 ( 1) n n n x 的收敛域是[0,2]；  = + 1 ( 1) n n n x 的收敛域是(-2,0)

例10.31幂级数∑x,∑x,∑mx+1y的收敛半径都是 n=1 n=1 R=1。 ∑x的收敛域是F1,1∑(x=)的收敛域是02];∑nx+1 n=1 的收敛域是(-2,0)。 例10.32考察幂级数∑ [2+(-1)" 的收敛情况。 解因为 2+(-1) n→① 所以收敛半径为R 读者可以自己证明:当x=1+R=5与x=1-R=时,幂级数都 2 是发散的。因此它的收敛域是(.5)。 66

例 10.3.2 考察幂级数   =       − + − 0 2 [2 ( 1) ] 1 n n n n x n 的收敛情况。 解 因为 n→ lim n n n n [2 + (−1) ] = 3， 所以收敛半径为 R = 3 1 。 读者可以自己证明：当 x = + 2 1 R = 6 5 与 x = − 2 1 R = 6 1 时，幂级数都 是发散的。因此它的收敛域是       6 5 , 6 1 。 例 10.3.1 幂级数   n=1 n n x ，  = − 1 2 ( 1) n n n x ，  = + 1 ( 1) n n n x 的收敛半径都是 R = 1。  n=1 n n x 的收敛域是[-1,1)；  = − 1 2 ( 1) n n n x 的收敛域是[0,2]；  = + 1 ( 1) n n n x 的收敛域是(-2,0)

在判断数项级数的收敛性时,除了 Cauchy判别法,还有 D'Alembert判别法,下面的定理就是 D'Alembert判别法在幂级数上的 应用 定理10.32( D'Alembert判别法)如果对幂级数∑anx成立 m n→>0a 则此幂级数的收敛半径为R A 定理的证明包含在引理9.3.1给出的不等式 im叫≤myan|≤hmn《an| s lim an+ n→) n→ n→ 中

在判断数项级数的收敛性时，除了 Cauchy 判别法，还有 D'Alembert 判别法，下面的定理就是 D'Alembert 判别法在幂级数上的 应用。 定理 10.3.2 (D'Alembert 判别法) 如果对幂级数  n=0 n n a x 成立 n→ lim n n a a +1 = A， 则此幂级数的收敛半径为 R = A 1 。 定理的证明包含在引理 9.3.1 给出的不等式 n→ lim  + n n a a 1 n→ lim n |an |  n→ lim n |an |  n→ lim n n a a +1 中

例10.3.3考察幂级数 x的收敛情况。 解因为 (n+1) +1 lim lm(+1) n→)∞ 所以收敛半径为R=1。 e 当x=时,∑x是正项级数,由 Stirling公式(例95), e gon 2πn2e 可知∑”x“在x=时发散 n=0n1

例 10.3.3 考察幂级数  =0 ! n n n x n n 的收敛情况。 解 因为 n→ lim n n a a +1 = n→ lim ! ( 1)! ( 1) 1 n n n n n n + + + = e， 所以收敛半径为 R = e 1 。 当 x = e 1 时，  =0 ! n n n x n n 是正项级数，由 Stirling 公式（例 9.5.5）， n n x n n ! ～ n n n n n − + 2 e 2 1 e 1  = 2n 1 ( n →) 可知  =0 ! n n n x n n 在 x = e 1 时发散；

∑x"是交错级数,由于 (n+1) (n+D)1 且 0(n->∞) T 可知∑”x"在x=-时是 Leibniz级数,所以收敛 n=0 n 综上所述,∑x的收敛域是

当 x = e 1 − ，  =0 ! n n n x n n 是交错级数，由于 n n n n x n n x n n ! ( 1)! ( 1) 1 1 + + + + = e 1 1 1 1        + n n 且 n n x n n ! ～ 0 2 1 → n ( n →)， 可知  =0 ! n n n x n n 在 x = e 1 − 时是 Leibniz 级数，所以收敛。 综上所述，  =0 ! n n n x n n 的收敛域是 1 1 , e e    −   

幂级数的性质 Abe第一定理:如果幂级数在点收敛,则当|xk5时幂级数绝 对收敛;如果幂级数在点n发散,则当|x>n时幂级数发散。 显然,这一结论已包含在定理103.1之中

幂级数的性质 Abel 第一定理：如果幂级数在点 收敛，则当| | | | x   时幂级数绝 对收敛；如果幂级数在点 发散 ，则当| | | | x   时幂级数发散。 显然，这一结论已包含在定理 10.3.1 之中