《数学分析》课程电子教案（PPT课件）第五章 微分中值定理及其应用（5.6）方程的近似求解

§6方程的近似求解 解析方法和数值方法 求方程 f(x)=0 的解(或根),就是要寻找一个数x',使得满足 f(x)=0。 求方程的解主要方法有两种:解析方法和数值方法

解析方法和数值方法 求方程 f x( ) = 0 的解（或根），就是要寻找一个数 x*，使得满足 0)( * xf = 。 求方程的解主要方法有两种：解析方法和数值方法。 §6 方程的近似求解

§6方程的近似求解 解析方法和数值方法 求方程 f(x)=0 的解(或根),就是要寻找一个数x',使得满足 f(x)=0。 求方程的解主要方法有两种:解析方法和数值方法。 解析方法也称为公式法,它是将方程的解表达为方程的系数的函 数形式,只要把待求的方程的系数代入表达式,就可以求出方程的解。 例如,对于一元二次方程 ax2+bx+c=0,(a≠0), 可以得到它的两个解为 b±√b2-4ac x1,x2 2

解析方法也称为公式法，它是将方程的解表达为方程的系数的函 数形式，只要把待求的方程的系数代入表达式，就可以求出方程的解。 例如，对于一元二次方程 ax bx c a 2 + += ≠ 0 0 ,( )， 可以得到它的两个解为 x x b b ac a 1 2 2 4 2 , = −± − 。 解析方法和数值方法 求方程 f x( ) §6 方程的近似求解 = 0 的解（或根），就是要寻找一个数 x*，使得满足 0)( * xf = 。 求方程的解主要方法有两种：解析方法和数值方法

数值方法是一种求近似解的方法。由于实际问题中绝大多数方程 都无法找到其解析解,因此,数值方法是用数学工具解决实际问题过 程中的一个重要方法

数值方法是一种求近似解的方法。由于实际问题中绝大多数方程 都无法找到其解析解，因此，数值方法是用数学工具解决实际问题过 程中的一个重要方法

数值方法是一种求近似解的方法。由于实际问题中绝大多数方程 都无法找到其解析解,因此,数值方法是用数学工具解决实际问题过 程中的一个重要方法。 二分法 对于一个实的方程 f(x)=0, 最简单的数值求解方法为二分法。 设f(x)在[a,b中连续,且成立 f(a)·f(b)<0, 那么在a,b]至少存在着∫(x)的一个解x'。我们希望求出它的近似值x, 满足 x-x|≤0 这里s是预先给定的精度要求

二分法 对于一个实的方程 f x( ) = 0， 最简单的数值求解方法为二分法。 设 f x( )在[,] a b 中连续，且成立 fa fb () () ⋅ < 0， 那么在[,] a b 至少存在着 f x( )的一个解 x*。我们希望求出它的近似值~x ， 满足 * 0 x x  − ≤ ε ， 这里 0 ε 是预先给定的精度要求。 数值方法是一种求近似解的方法。由于实际问题中绝大多数方程 都无法找到其解析解，因此，数值方法是用数学工具解决实际问题过 程中的一个重要方法

(1)记[a1,b1={a.b;取x1为园a,b]的中点,即x1=2° (2)计算f(x1) 若f(x)=0,则x1即为方程的解x,取=x1,计算结束。 (3)否则,按如下规则得到区间[an,b2]: (a)若f(x)f(b1)0。 此时f(a1)f(x)<0,因此f(x)的解在[a1,x1中,取a2=a1, x1 易知x'∈[a2,b2],且[a2,b2]的长度是[an,b]的一半 4)取x2为[a2,b2]的中点 (5)类似地,若x2是方程的解x,计算结束;否则可以得到{a3b (6)重复上述过程 ···

⑴ 记 [,] a b 1 1 =[,] a b ；取 x1为[,] a b 1 1 的中点，即 x a b 1 1 1 2 = + 。 ⑵ 计算 f x( )1 ： 若 f x( )1 = 0，则 x1即为方程的解 x*，取 ~x x = 1，计算结束。 ⑶ 否则，按如下规则得到区间[,] a b 2 2 ： (a)若 fx fb () () 1 1 ⋅ 0。 此时 fa fx () () 1 1 ⋅ < 0，因此 f x( ) 的解在[,] a x 1 1 中，取a a 2 1 = ， b x 2 1 = . 易知 x * ∈[,] a b 2 2 ，且[,] a b 2 2 的长度是[,] a b 1 1 的一半。 ⑷ 取 x2为[,] a b 2 2 的中点。 ⑸ 类似地，若 x2是方程的解 x*，计算结束；否则可以得到[,] a b 3 3 。 ⑹ 重复上述过程……

假设执行过程中没有发生x恰好等于x的情况,由于对任何k都 有 6-a 因此{a,b]的中点x与精确解x的距离不会超过[a,b长度的一半,即 成立 x-x|≤-a4=b-a≤6, 所以,当执行到 k=lo 2 时,必有 x4-x|≤E 于是,文=x便是符合精度要求的近似解

假设执行过程中没有发生 x k 恰好等于 x*的情况，由于对任何 k 都 有 b a b a kk k − = − − 2 1 ， 因此[,] a b k k 的中点 x k 与精确解 x*的距离不会超过 ],[ kk ba 长度的一半，即 成立 x x k − * 0 2 2 k k k b a b a ε − − ≤ = ≤ ， 所以，当执行到 + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − = 0 2 log ε ab k 时，必有 x x k − * 0 ≤ ε ， 于是， k x = x 便是符合精度要求的近似解

Newton迭代法 数值计算中常用的求近似值的方法是迭代法。先将原来的方程 f(x)=0 化为等价的形式 x= F(x), 所谓“等价”是指若x是方程f(x)=0的解,则成立 F(x*) 反之亦然。这里的F(x)称为迭代函数

Newton 迭代法 数值计算中常用的求近似值的方法是迭代法。先将原来的方程 f x( ) = 0 化为等价的形式 x Fx = ( )， 所谓“等价”是指若 x*是方程 xf = 0)( 的解，则成立 x Fx * * = ( )， 反之亦然。这里的F x( )称为迭代函数

取一个适当的初始值x,按 xk+1=F(xk),k=0,1,2, 产生序列{x}(设每个x都属于F(x)的定义域),这样的计算过程称为 迭代。若成立 (k→>∞) 则x就是原方程的解。因此只要在迭代过程中,选取某个合适的x作 为ⅹ,就得到原方程的近似解了 构造迭代函数可以有多种方法,最简单的可以取 F(x)=x-f(x) 下面我们利用ayor公式来构造迭代函数

取一个适当的初始值 x0，按 x Fx k k k +1 = ( ), , , , = 012 " 产生序列{ } xk （设每个xk 都属于F x( )的定义域），这样的计算过程称为 迭代。若成立 )( * k → kxx ∞→ ， 则 x*就是原方程的解。因此只要在迭代过程中，选取某个合适的xk 作 为~x ，就得到原方程的近似解了。 构造迭代函数可以有多种方法，最简单的可以取 Fx x f x () () = − 。 下面我们利用 Taylor 公式来构造迭代函数

设f(x)在含有x的某个区间a,b中具有二阶连续导数,且对于每 个x∈[ab,都有f(x)≠0。作出f(x)在x处的 Taylor公式,由于x是 方程f(x)=0的解,则有 x-x f(x)=f(x)+f(x)(x-x)+f(5 0 也即 f(x)f"() (x

设 f x( )在含有 x*的某个区间[,] a b 中具有二阶连续导数，且对于每 个 ∈ bax ],[ ，都有 f x ′() 0 ≠ 。作出 f x( )* 在 x 处的 Taylor 公式，由于 x*是 方程 xf = 0)( 的解，则有 * 2 * * ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 0 2 x x fx fx f x x x f ξ − = + −+ = ′ ′′ ， 也即 * 2 * () ()( ) () () 2 f x f xx x x fx fx ′′ ξ − =− − ⋅ ′ ′

当x→x'时,上式的最后一项是趋向于零的,因此有 x) f(x im x f(x) 这样, FO f'(x) 就是一个满足x*=F(x)要求的迭代函数,由此得到迭代公式 f(xk) k=0,1,2, 这就是著名的 Newton迭代法(简称 Newton法)

当 x x → *时，上式的最后一项是趋向于零的，因此有 * * * * * )( )( )( )( lim x xf xf x xf xf x xx = ′ −=⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ′ − → 。 这样， Fx x f x f x ( ) ( ) ( ) = − ′ 就是一个满足x Fx * * = ( )要求的迭代函数，由此得到迭代公式 x x f x f x k k k k k + = − ′ 1 = 012 ( ) ( ) , ,, , "， 这就是著名的 Newton 迭代法（简称 Newton 法）