北京大学：《高等代数》课程（第三版）教学资源（讲义）第三章 线性方程组（3.2）n维向量空间

§2n维向量空间 定义2所谓数域P上一个n维向量就是由数域P中n个数组成的有序数组 a (1) a1称为向量(1)的分量 用小写希腊字母a,B,y…来代表向量 定义3如果n维向量 a=(a1,a2,…,an),B=(b1,b2,…,bn) 的对应分量都相等,即 a1=b(i=1,2,…,n) 就称这两个向量是相等的,记作a=B n维向量之间的基本关系是用向量的加法和数量乘法表达的 定义4向量 r=(a+b, a2+b2, .,a,+b) 称为向量 a=(a12a2…,an),B=(b1,b2,…bn) 的和,记为 y=a+B 由定义立即推出 交换律: a+B=B+a 结合律: a+(B+y)=(a+B)+y 定义5分量全为零的向量 (0,0,…,0) 称为零向量,记为0向量(-a2-a2…-an)称为向量a=(a1a2,…,an)的负向量, 记为 显然对于所有的a,都有 C+0=a (4) +(-a)=0 (5) (2)-(5)是向量加法的四条基本运算规律

§2 n 维向量空间 定义 2 所谓数域 P 上一个 n 维向量就是由数域 P 中 n 个数组成的有序数组 ( , , , ) a1 a2  an (1) i a 称为向量(1)的分量. 用小写希腊字母 ,  , ,  来代表向量. 定义 3 如果 n 维向量 ( , , , ) , ( , , , )  = a1 a2  an  = b1 b2  bn 的对应分量都相等，即 a b (i 1,2, ,n) i = i =  . 就称这两个向量是相等的，记作  =  . n 维向量之间的基本关系是用向量的加法和数量乘法表达的. 定义 4 向量 ( , , , ) = a1 + b1 a2 + b2  an + bn  称为向量 ( , , , ) , ( , , , )  = a1 a2  an  = b1 b2  bn 的和，记为  =  +  由定义立即推出： 交换律：  +  =  + . (2) 结合律：  + ( +  ) = ( +  ) +  . (3) 定义 5 分量全为零的向量 (0,0,  ,0) 称为零向量，记为 0;向量 ( , , , ) −a1 −a2  −an 称为向量 ( , , , )  = a1 a2  an 的负向量， 记为 − . 显然对于所有的  ，都有  + 0 = . (4)  + (−) = 0 . (5) (2)—(5)是向量加法的四条基本运算规律

定义6a-B=a+(-B) 定义7设k为数域P中的数,向量 称为向量a=(a1,a2…,an)与数k的数量乘积,记为ka 由定义立即推出: k(a+B)=ka+k (k+/)a= ka +1 k(la)=(kd)a C (6)(9)是关于数量乘法的四条基本运算规则由(6)(9)或由定义不难推出: 0a=0 k0=0 (12) 如果k≠0,a≠0,那么 ka≠0 定义8以数域P中的数作为分量的n维向量的全体,同时考虑到定义在它们 上面的加法和数量乘法,称为数域P上的n维向量空间 在n=3时,3维实向量空间可以认为就是几何空间中全体向量所成的空间 以上已把数域P上全体n维向量的集合组成一个有加法和数量乘法的代数 结构,即数域P上n维向量空间 向量通常是写成一行 (a1,a2 有时也可以写成一列: 为了区别,前者称为行向量,后者称为列向量。它们的区别只是写法上的不同

定义 6  −  = + (− ) 定义 7 设 k 为数域 P 中的数，向量 ( , , , ) 1 2 n ka ka  ka 称为向量 ( , , , )  = a1 a2  an 与数 k 的数量乘积，记为 k 由定义立即推出： k( +  ) = k + k , (6) (k + l) = k + l , (7) k(l) = (kl) , (8) 1 = . (9) (6)—(9)是关于数量乘法的四条基本运算规则.由(6)—(9)或由定义不难推出： 0 = 0 , (10) (−1) = − , (11) k0 = 0 . (12) 如果 k  0 ,  0 ，那么 k  0 . (13) 定义 8 以数域 P 中的数作为分量的 n 维向量的全体，同时考虑到定义在它们 上面的加法和数量乘法，称为数域 P 上的 n 维向量空间. 在 n = 3 时，3 维实向量空间可以认为就是几何空间中全体向量所成的空间. 以上已把数域 P 上全体 n 维向量的集合组成一个有加法和数量乘法的代数 结构，即数域 P 上 n 维向量空间. 向量通常是写成一行： ( , , , )  = a1 a2  an . 有时也可以写成一列：               = n a a a  2 1  . 为了区别，前者称为行向量，后者称为列向量。它们的区别只是写法上的不同