北京大学：《高等代数》课程（第三版）教学资源（讲义）第二章 行列式（2.8）拉普拉斯（Laplace）定理 行列式的乘法规则

§8拉普拉斯 Laplace)定理行列式的乘法规则 、拉普拉斯定理 定义9在一个n级行列式D中任意选定k行k列(k≤n),位于这些行和列的 交点上的k2个元素按照原来的次序组成一个k级行列式M,称为行列式D的 个k级子式在D中划去这k行k列后余下的元素按照原来的次序组成的n-k级 行列式M'称为k级子式M的余子式 从定义立刻看出,M也是M的余子式所以M和M可以称为D的一对互 余的子式 例1在四级行列式 12 中选定第一、三行,第二、四列得到一个二级子式M M的余子式为 例2在五级行列式 14 D a2a22a23a24a25 asi a52 a53 a54 a55 a23 a25 43 和 M'=/1 是一对互余的子式

§8 拉普拉斯(Laplace)定理 行列式的乘法规则 一、拉普拉斯定理 定义 9 在一个 n 级行列式 D 中任意选定 k 行 k 列( k  n )，位于这些行和列的 交点上的 2 k 个元素按照原来的次序组成一个 k 级行列式 M ，称为行列式 D 的一 个 k 级子式.在 D 中划去这 k 行 k 列后余下的元素按照原来的次序组成的 n − k 级 行列式 M  称为 k 级子式 M 的余子式. 从定义立刻看出， M 也是 M  的余子式.所以 M 和 M  可以称为 D 的一对互 余的子式. 例 1 在四级行列式 0 0 1 3 0 0 2 1 0 1 2 1 1 2 1 4 − D = 中选定第一、三行，第二、四列得到一个二级子式 M ： 0 1 2 4 M = , M 的余子式为 0 1 0 2 M  = . 例 2 在五级行列式 51 52 53 54 55 21 22 23 24 25 11 12 13 14 15 a a a a a a a a a a a a a a a D      = 中 42 43 45 22 23 25 12 13 15 a a a a a a a a a M = 和 51 54 31 34 a a a a M  = 是一对互余的子式

定义10设D的k级子式M在D中所在的行、列指标分别是 i12…lj1,j2…,则M的余子式M前面加上符号(-1)++H++)后 称做M的代数余子式 因为M与M'位于行列式D中不同的行和不同的列,所以有下述 引理行列式D的任一个子式M与它的代数余子式A的乘积中的每一项都 是行列式D的展开式中的一项,而且符号也一致 定理6(拉普拉斯定理)设在行列式D中任意取定了k(1≤k≤n-1)个行由 这k行元素所组成的一切k级子式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式 例3利用拉普拉斯定理计算行列式 12 D 10 1213 从这个例子来看,利用拉普拉斯定理来计算行列式一般是不方便的这个定 理主要是理论方面的应用 、行列式的乘积法则 定理7两个n级行列式 和 bu b2 bu b, b D 的乘积等于一个n级行列式

定 义 10 设 D 的 k 级子式 M 在 D 中 所 在 的 行 、 列 指 标 分 别 是 k k i ,i , ,i ; j , j , , j 1 2  1 2  ，则 M 的余子式 M  前面加上符号 ( ) ( ) 1 2 1 2 ( 1) k k i +i + +i + j + j + + j −   后 称做 M 的代数余子式. 因为 M 与 M  位于行列式 D 中不同的行和不同的列，所以有下述 引理 行列式 D 的任一个子式 M 与它的代数余子式 A 的乘积中的每一项都 是行列式 D 的展开式中的一项，而且符号也一致. 定理 6(拉普拉斯定理) 设在行列式 D 中任意取定了 k ( 1 k  n −1 )个行.由 这 k 行元素所组成的一切 k 级子式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式 D . 例 3 利用拉普拉斯定理计算行列式 0 1 3 1 1 0 1 3 0 1 2 1 1 2 1 4 − D = 从这个例子来看，利用拉普拉斯定理来计算行列式一般是不方便的.这个定 理主要是理论方面的应用. 二、行列式的乘积法则 定理 7 两个 n 级行列式 n n nn n n a a a a a a a a a D       1 2 21 22 2 11 12 1 1 = 和 n n nn n n b b b b b b b b b D       1 2 21 22 2 11 12 1 2 = 的乘积等于一个 n 级行列式 n n nn n n c c c c c c c c c C       1 2 21 22 2 11 12 1 =

其中cn是D的第i行元素分别与D2的第j列的对应元素乘积之和: cn=anb+a2by+…+anb=∑a1b 这个定理也称为行列式的乘法定理它的意义到第四章§3中就完全清楚了

其中 ij c 是 D1 的第 i 行元素分别与 D2 的第 j 列的对应元素乘积之和： = = + + + = n k ij ai b j ai b j ai nbnj ai kbkj c 1 1 1 2 2  . 这个定理也称为行列式的乘法定理.它的意义到第四章§3 中就完全清楚了