北京大学：《高等代数》课程（第三版）教学资源（讲义）第二章 行列式（2.2）排列

§2排列 排列的定义 定义1由1,2灬…,n组成的一个有序数组称为一个n级排列 显然12…n也是一个n级排列,这个排列具有自然顺序,就是按递增的顺序 排起来的;其它的排列或多或少地破坏自然顺序 定义2在一个排列中,如果一对数的前后位置与大小顺序相反,即前面的 数大于后面的数,那么它们就称为一个逆序,一个排列中逆序的总数就称为这个 排列的逆序数 排列j/2…j的逆序数记为 r(1j2…jn) 定义3逆序数为偶数的排列称为偶排列;逆序数为奇数的排列称为奇排列 应该指出,我们同样可以考虑由任意n个不同的自然数所组成的排列,一般 也称为n级排列对这样一般的n级排列,同样可以定义上面这些概念 排列的奇偶性 把一个排列中某两个数的位置互换,而其余的数不动,就得到另一个排列 这样一个变换称为一个对换显然,如果连续施行再次相同的对换,那么排列就 还原了由此得知,一个对换把全部n级排列两两配对,使每两个配成对的n级排 列在这个对换下互变 定理1对换改变排列的奇偶性 这就是说,经过一次对换,奇排列变成偶排列,偶排列变成奇排列 推论在全部n级排列排列中,奇、偶排列的个数相等,各有川2个 定理2任意一个n级排列与排列12…n都可以经过一系列对换互变,并且所作对 换的个数与这个排列有相同的奇偶性

§2 排列 一、排列的定义 定义 1 由 1,2,  ,n 组成的一个有序数组称为一个 n 级排列. 显然 12n 也是一个 n 级排列，这个排列具有自然顺序，就是按递增的顺序 排起来的；其它的排列或多或少地破坏自然顺序. 定义 2 在一个排列中，如果一对数的前后位置与大小顺序相反，即前面的 数大于后面的数，那么它们就称为一个逆序，一个排列中逆序的总数就称为这个 排列的逆序数. 排列 n j j  j 1 2 的逆序数记为 ( ) 1 2 n  j j  j 定义 3 逆序数为偶数的排列称为偶排列；逆序数为奇数的排列称为奇排列. 应该指出，我们同样可以考虑由任意 n 个不同的自然数所组成的排列，一般 也称为 n 级排列.对这样一般的 n 级排列，同样可以定义上面这些概念. 二、排列的奇偶性 把一个排列中某两个数的位置互换，而其余的数不动，就得到另一个排列. 这样一个变换称为一个对换.显然，如果连续施行再次相同的对换，那么排列就 还原了.由此得知，一个对换把全部 n 级排列两两配对，使每两个配成对的 n 级排 列在这个对换下互变. 定理 1 对换改变排列的奇偶性. 这就是说，经过一次对换，奇排列变成偶排列，偶排列变成奇排列. 推论 在全部 n 级排列排列中，奇、偶排列的个数相等，各有 n!/ 2 个. 定理 2 任意一个 n 级排列与排列 12n 都可以经过一系列对换互变，并且所作对 换的个数与这个排列有相同的奇偶性