北京大学：《高等代数》课程（第三版）教学资源（讲义）第二章 行列式（2.7）克拉默（Cramer）法则

§7克拉默( Cramer)法则 现在应用行列式解决线性方程组的问题.在这里只考虑方程个数与未知量个 数相等的情形 定理4如果线性方程组 +…+a1x= b a2x1+a2x2+…+a2nx=b2 (1) anx1+an2x2+…+anxn=b 的系数矩阵 2 A 的行列式 d=4≠=0 那么线性方程组(1)有解,并且解是唯一的,解可以通过系数表为 其中d是把矩阵A中第j列换成常数项b,b2…b,所成的矩阵的行列式,即 b d b 定理中包含着三个结论:1)方程组有解:2)解是唯一的:3)解由公式(3) 给出这三个结论是有联系的,因此证明的步骤是: 把 代入方程组,验证它确是解 2.假如方程组有解,证明它的解必由公式(3)给出 定理4通常称为克拉默法则 例1解方程组

§7 克拉默(Cramer)法则 现在应用行列式解决线性方程组的问题.在这里只考虑方程个数与未知量个 数相等的情形. 定理 4 如果线性方程组        + + + = + + + = + + + = n n nn n n n n n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b     1 1 2 2 21 1 22 2 2 2 11 1 12 2 1 1 , , (1) 的系数矩阵               = n n nn n n a a a a a a a a a A       1 2 21 22 2 11 12 1 (2) 的行列式 d =| A | 0 那么线性方程组(1)有解，并且解是唯一的，解可以通过系数表为 d d x d d x d d x n = , = , , n = 2 2 1 1  , (3) 其中 j d 是把矩阵 A 中第 j 列换成常数项 b b bn , , , 1 2  所成的矩阵的行列式，即 , 1,2, , . 1 , 1 , 1 2 1 2, 1 2 2, 1 2 1 1 1, 1 1 1, 1 1 j n a a b a a a a b a a a a b a a d n n j n n j n n j j n j j n j             = = − + − + − + (4) 定理中包含着三个结论：1）方程组有解；2）解是唯一的；3）解由公式(3) 给出.这三个结论是有联系的，因此证明的步骤是： 1. 把 ( , , , ) 1 2 d d d d d d  n 代入方程组，验证它确是解. 2. 假如方程组有解，证明它的解必由公式(3)给出. 定理 4 通常称为克拉默法则. 例 1 解方程组

2 +2 x1+4x2-7x3+6x4=0 应该注意,定理4所讨论的只是系数矩阵的行列式不为零的方程组,它只能 应用于这种方程组;至于方程组的系数行列式为零的情形,将在下一章的一般情 形中一并讨论 常数项全为零的线性方程组称为齐次线性方程组显然齐次方程组总是有解 的,因为(0,0,…,0)就是一个解,它称为零解对于齐次线性方程组,我们关心 的问题常常是,它除了零解以外,还有没有其它解,或者说,它有没有非零解 对于方程个数与未知量个数相同的齐次线性方程组,应用克拉默法则就有 定理5如果齐次线性方程组 a21x1 +a2X,+…+a,x.=0 0 的系数矩阵的行列式A≠0,那么它只有零解换句话说,如果方程组(10)有非零 解,那么必有|A=0 例2求A在什么条件下,方程组 x1+x2 0 0 有非零解 克拉默法则的意义主要在于它给出了解与系数的明显关系,这一点在以后许多问 题的讨论中是重要的但是用克拉默法则进行计算是不方便的,因为按这一法则 解一个n个未知量n个方程的线性方程组就要计算n+1个n级行列式,这个计算 量是很大的

       + − + = − + = − − − = + − + = 4 7 6 0 . 2 2 5 , 3 6 9 , 2 5 8 , 1 2 3 4 2 3 4 1 2 4 1 2 3 4 x x x x x x x x x x x x x x 应该注意，定理 4 所讨论的只是系数矩阵的行列式不为零的方程组，它只能 应用于这种方程组；至于方程组的系数行列式为零的情形，将在下一章的一般情 形中一并讨论. 常数项全为零的线性方程组称为齐次线性方程组.显然齐次方程组总是有解 的，因为 (0 , 0 ,  , 0) 就是一个解，它称为零解.对于齐次线性方程组，我们关心 的问题常常是，它除了零解以外，还有没有其它解，或者说，它有没有非零解. 对于方程个数与未知量个数相同的齐次线性方程组，应用克拉默法则就有 定理 5 如果齐次线性方程组        + + + = + + + = + + + = 0 0 , 0 , 1 1 2 2 21 1 22 2 2 11 1 12 2 1 n n nn n n n n n a x a x a x a x a x a x a x a x a x     (10) 的系数矩阵的行列式 | A | 0 ，那么它只有零解.换句话说，如果方程组(10)有非零 解，那么必有 | A |= 0 . 例 2 求  在什么条件下，方程组    + = + = 0 0 , 1 2 1 2 x x x x   有非零解. 克拉默法则的意义主要在于它给出了解与系数的明显关系，这一点在以后许多问 题的讨论中是重要的.但是用克拉默法则进行计算是不方便的，因为按这一法则 解一个 n 个未知量 n 个方程的线性方程组就要计算 n +1 个 n 级行列式，这个计算 量是很大的