北京大学：《高等代数》课程（第三版）教学资源（讲义）第二章 行列式（2.5）行列式的计算

§5行列式的计算 下面利用行列式的性质给出一个计算行列式的方法 在§3我们看到,一个上三角形行列式 00 就等于它主对角线上元素的乘积 c1422‘am 这个计算是很简单的下面我们想办法把任意的n级行列式化为上三角形行列式 来计算 定义5由sn个数排成的s行(横的)n列(纵的)的表 21 aa 称为一个s×n矩阵 数an,i=1,2…,s,j=1,2…n,称为矩阵(1)的元素,i称为元素an的行指标, j称为列指标当一个矩阵的元素全是某一数域P中的数时,它就称为这一数域P 上的矩阵 n×n矩阵也称为n级方阵一个n级方阵 定义一个n级行列式 称为矩阵A的行列式,记作|A

§5 行列式的计算 下面利用行列式的性质给出一个计算行列式的方法. 在§3 我们看到，一个上三角形行列式 nn n n a a a a a a       0 0 0 22 2 11 12 1 就等于它主对角线上元素的乘积 a11a22 ann 这个计算是很简单的.下面我们想办法把任意的 n 级行列式化为上三角形行列式 来计算. 定义 5 由 sn 个数排成的 s 行(横的) n 列(纵的)的表               s s sn n n a a a a a a a a a       1 2 21 22 2 11 12 1 (1) 称为一个 sn 矩阵. 数 aij ,i = 1,2,  ,s, j = 1,2,  ,n ,称为矩阵(1)的元素， i 称为元素 ij a 的行指标， j 称为列指标.当一个矩阵的元素全是某一数域 P 中的数时，它就称为这一数域 P 上的矩阵. nn 矩阵也称为 n 级方阵.一个 n 级方阵               = n n nn n n a a a a a a a a a A       1 2 21 22 2 11 12 1 定义一个 n 级行列式 n n nn n n a a a a a a a a a       1 2 21 22 2 11 12 1 称为矩阵 A 的行列式，记作 | A |

定义6所谓数域P上矩阵的初等行变换是指下列三种变换 1)以P中一个非零的数乘矩阵的某一行 2)把矩阵的某一行的c倍加到另一行,这里c是P中任意一个数 3)互换矩阵中两行的位置 一般说来,一个矩阵经过初等行变换后,就变成了另一个矩阵当矩阵A经 过初等行变换变成矩阵B时,我们写成 A→>B 若一个矩阵的任一行从第一个元素起至该行的第一个非零元素所在的下方 全为零,则称这样的矩阵为阶梯形矩阵. 可以证明,任意一个矩阵经过一系列初等行变换总能变成阶梯形矩阵 现在回过来讨论行列式的计算问题一个n级行列式可看成是由一个n级方 阵A决定的,对于矩阵可以作初等行变换,而行列式的性质2,6,7正是说明了 方阵的初等行变换对于行列式的值的影响每个方阵A总可以经过一系列的初等 行变换变成阶梯形方阵J由行列式性质2,6,7,对方阵每作一次初等行变换, 相应地,行列式或者不变,或者差一非零的倍数,也就是 AF=klJ|,k≠0 显然,阶梯形方阵的行列式都是上三角形的,因此是容易计算的. 例计算 25-13 1-9137 28-7-10 不难算出,用这个方法计算一个n级的数字行列式只需要做”+2m-3次乘 法和除法特别当n比较大的时候,这个方法的优越性就更加明显了同时还应该 看到,这个方法完全是机械的,因而可以用电子计算机按这个方法来进行行列式 的计算 对于矩阵同样可以定义初等列变换,即 1)以P中一个非零的数乘矩阵的某一列; 2)把矩阵的某一列的c倍加到另一列,这里c是P中任意一个数;

定义 6 所谓数域 P 上矩阵的初等行变换是指下列三种变换： 1）以 P 中一个非零的数乘矩阵的某一行； 2）把矩阵的某一行的 c 倍加到另一行，这里 c 是 P 中任意一个数； 3) 互换矩阵中两行的位置. 一般说来，一个矩阵经过初等行变换后，就变成了另一个矩阵.当矩阵 A 经 过初等行变换变成矩阵 B 时，我们写成 A→ B 若一个矩阵的任一行从第一个元素起至该行的第一个非零元素所在的下方 全为零，则称这样的矩阵为阶梯形矩阵. 可以证明，任意一个矩阵经过一系列初等行变换总能变成阶梯形矩阵. 现在回过来讨论行列式的计算问题.一个 n 级行列式可看成是由一个 n 级方 阵 A 决定的，对于矩阵可以作初等行变换，而行列式的性质 2，6，7 正是说明了 方阵的初等行变换对于行列式的值的影响.每个方阵 A 总可以经过一系列的初等 行变换变成阶梯形方阵 J .由行列式性质 2，6，7，对方阵每作一次初等行变换， 相应地，行列式或者不变，或者差一非零的倍数，也就是 | A |= k | J | ,k  0 显然，阶梯形方阵的行列式都是上三角形的，因此是容易计算的. 例 计算 2 8 7 10 3 1 5 5 1 9 13 7 2 5 1 3 − − − − − − − 不难算出，用这个方法计算一个 n 级的数字行列式只需要做 3 2 3 3 n + n − 次乘 法和除法.特别当 n 比较大的时候，这个方法的优越性就更加明显了.同时还应该 看到，这个方法完全是机械的，因而可以用电子计算机按这个方法来进行行列式 的计算. 对于矩阵同样可以定义初等列变换，即 1）以 P 中一个非零的数乘矩阵的某一列； 2）把矩阵的某一列的 c 倍加到另一列，这里 c 是 P 中任意一个数；

3)互换矩阵中两列的位置 为了计算行列式,也可以对矩阵进行初等列变换有时候,同时用初等行变 换和列变换,行列式的计算可以更简单些 矩阵的初等行变换与初等列变换统称为初等变换

3) 互换矩阵中两列的位置. 为了计算行列式，也可以对矩阵进行初等列变换.有时候，同时用初等行变 换和列变换，行列式的计算可以更简单些. 矩阵的初等行变换与初等列变换统称为初等变换