北京交通大学：《线性代数》课程教学资源（PPT课件讲稿）第六章 矩阵的对角化问题 6.1 特征值与特征向量

庄第6章矩阵的对角化问题 6.1特征值与特征向量 6.1.1特征值与特征向量的基本概念 6.1.2特征值与特征向量的求法 6.1.3特征值与特征向量的性质 上页

第6章 矩阵的对角化问题 6.1 特征值与特征向量 6.1.1 特征值与特征向量的基本概念 6.1.2 特征值与特征向量的求法 6.1.3 特征值与特征向量的性质

61.1、特征值与特征向量的概念 定义6-1设A是m阶矩阵如果数和n维非零列向量 使关系式 Ax=ax 成立那末这样的数称为方阵A4的特征值非零向 量κ称为4的对应于特征值的特征向量 工工工 说明1.特征向量≠0,特征值问题是对方阵而的 2.n阶方阵4的特征值,就是使齐次线性方程组 (4-aE)x=0有非零解的值,即满足方程4-AE =0的都是矩阵A的特征值 上页

说明 1.特征向量x  0,特征值问题是对方阵而言的. ( ) 0 . 0 , 2. , 的 都是矩阵 的特征值 有非零解的 值 即满足方程 阶方阵 的特征值 就是使齐次线性方程组 A A E x A E n A     = − = − 6.1.1、特征值与特征向量的概念 . , , , 6 1 , 量 称 为 的对应于特征值 的特征向量 成 立 那 末 这样的数 称为方阵 的特征值 非零向 使关系式 定 义 设 是 阶矩阵 如果数 和 维非零列向量     x A A A x x A n n x = −

3.A-E=0 12 In 21 22 2n=0 nI n2 称以为未知数的一元m次方程A-E=0 为4的特征方程 记f(4)=A-E,它是的次多项式称其 为方阵4的特征多项式 上页

3. A − E = 0  0 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 = − − −    n n nn n n a a a a a a a a a        称 以为未知数的一元 n次方程 A− E = 0 为A的 特征方程 . 记 f () = A− E ,它是的n次多项式,称其 为方阵A的 特征多项式

庄4如果a,a2,…,a都是A的属于 特征值λ的特征向量,那末任傅 王零线性组合 =k1a1+k2C2+…+k2C、(≠0) 牛+也是属于特征值的特征向量,其 中k1,k2,…,k,为不全为零的常数。 上注:特征向量不惟一 上页

中 为不全为零的常数。 也是属于特征值 的特征向量，其 （ ） 零线性组合 特征值 的特征向量，那末任何非 、如果 ， ， ， 都 是 的属于 n n s s k k k k k k , , , 0 4 A 1 2 0 1 1 2 2 0 1 2             = + + +  注：特征向量不惟一

6.12、特征值与特征向量的求法 求特征值、特征向量的步骤: 牛()|A-E=0即可求出特征值九; (2)4x=x→(4-E)x=0 牛把得到的特征值代入上式 求齐次线性方程组A-E)x=0的一个基础 解系 上页

求特征值、特征向量的步骤： (1) 0 A E − =  即可求出特征值  ; (2) Ax x =   − = ( A E x  ) 0 把得到的特征值  代入上 式， 求齐次线性方程组 ( A E x − =  ) 0 的一个基础 x 解系 6.1.2、特征值与特征向量的求法

1,12t 可得A的属于特征值的全部特征向量 k1m1+k22+…+k1 其中取,,…,为不全为零的常数 注、n次多项式的求根问题一般并不容易 在实际问题中常常应所似计算公式来求 特征值 上页

k , , , . A , , , 1 2 1 1 2 2 1 2 其 中 为不全为零的常数 可 得 的属于特征值 的全部特征向量 t t t t k k k k k           + + + 特征值 在实际问题中常常应用近似计算公式来求 注 、n次多项式的求根 问题一般并不容易

例1求43-1 的特征值和特征向量 13 解A的特征多项式为 3-4-1 13-4 =(3-x)-1 =8-6元+2=(4-4)(2-) 所以4的特征值为1=2,2=4 当A1=2时,对应的特征向量应满足 3-2 -1(x=) 13-2人x2 上页

解例 1 . 1 3 3 1 求 的特征值和特征向量   − − A = A的特征多项式为  − − − − 1 3 3 1 (3 ) 1 2 = − − 8 6 (4 )(2 ) 2 = −  +  = −  −  2, 4. 所以A的特征值为1 = 2 = , 00 1 3 2 3 2 1 2 , 21 1    =   − − − − = xx 当 时 对应的特征向量应满足

x1-x2=0, x1+x2=0. 解得x1=x2,所以对应的特征向量可取为p A当≈4时,由 3-4-1Yx1)(0 1-1(x\≠ 13-4八x2)(0 1-1八x2)(0 牛解得x=-x2,所以对应的特征向量可取为 1 上页

   − + = − = 0. 0, 1 2 1 2 x x x x 即 , 解得x1 = x2 . 1 1 1       所以对应的特征向量可取为 p = , 0 0 1 1 1 1 , 0 0 1 3 4 3 4 1 4 , 2 1 2 1 2        =            − − − −        =            − − − − = x x x x 即 当 时 由 . 1 1 , 2 1 2       − = = − p 解得 x x 所以对应的特征向量可取为

110 王例2求矩阵4=-430的特征值和特征向量 10 解A的特征多项式为 1-元1 0 A-E=-43-x0=(2-4)(-x) 02-4 所以A的特征值为1=2,礼2=3=1 当a1=2时,解方程(A-2E)x=0由 上页

例２ . 1 0 2 4 3 0 1 1 0 求矩阵 的特征值和特征向量   −− A = 解 (2 )(1 ) , 1 0 2 4 3 0 1 1 0 2       = − − − − − − − A− E = A的特征多项式为2, 1. 所以A的特征值为1 = 2 = 3 = 当1 = 2时,解方程(A − 2E)x = 0.由

310 100 A-2E=-410~010, 100丿000 0 庄得基础解系 P1=0 所以kp(k≠0是对应于=2的全部特征向量 当a2=3=1,解方程(A-E)x=0由 210(101 A-E=-420~012 10 000 上页

, 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 4 1 0 3 1 0 2 ~                     − − A − E = , 1 0 0 1           得基础解系 p = 所以kp(k 0)是对应于λ 2的全部特征向量. 1 1  = 当2 = 3 = 1时,解方程(A − E)x = 0.由 , 0 0 0 0 1 2 1 0 1 1 0 1 4 2 0 2 1 0 ~                     − − A − E =