北京交通大学：《线性代数》课程教学资源（PPT课件讲稿）第2章 行列式 §2.4 n 阶行列式的性质

年24阶行列式的性质 241行列式的性质 242行列式计算(2) 243小结 上页

§2.4 n 阶行列式的性质 2.4.3 小结 2.4.1 行列式的性质 2.4.2 行列式计算(2)

生241行列式的性质 记 l12 In 21 nI 22 1, 12 2 n21 D n D= m2 In n 上行列式D称为行列式D的转置行列式 王性质21行列式与它的转置行列式相等 王页下

2.4.1 行列式的性质 性质2-1 行列式与它的转置行列式相等. 行列式 称为行列式 的转置行列式. T D D 记 nn a a a  22 11    n n a a a 2 12 1   1 2 21 n n a a a D =    2 21 1 n n a a a   n n a a a 1 2 12 = T D nn a a a  22 11

王证明记D=det的转置行列式 1 12 In D= 2122 n ∴∴…∴… 1 n2 庄即b=01Gj=12,…,m按定义 王D=∑()A,bnb-∑(anD 75 63 66 765 35 528 上页

证明 记 D = det(aij)的转置行列式, 1 2 21 22 2 11 12 1 n n nn n n T b b b b b b b b b D     = b a (i, j 1,2, ,n), 即 ij = ji =  按定义 = (− ) = (− ) p p p n t p p np T t n n D b1 b2 b a 1 a 2 a 1 2 1 2 1 1 = D , 5 7 1 7 5 1 = 6 6 2 3 5 8 2 6 6 8 5 3

说明行列式中行与列具有同等的地位,因此行列 式的性质凡是对行成立的对列也同样成立 王性质22互换行列式的两行(列),行列式变号 例如 17517 715 662=-358,662=-662. 358662358538 记法行列式的第行:F,交换s、两行 . rer 行列式的第列:c,交换、两列:c,4>C 上页

性质2-2 互换行列式的两行（列）,行列式变号. 说明 行列式中行与列具有同等的地位,因此行列 式的性质凡是对行成立的对列也同样成立. 例如 , 1 7 5 1 7 5 6 6 2 = − 3 5 8 . 8 2 5 8 2 5 = − 3 6 1 5 6 7 5 6 7 3 6 1 6 6 2 3 5 8 记法 行列式的第s行： s r ,交换s、t两行： s t r  r 行列式的第s列： s c 交换s、t两列： s t c  c

推论如果行列式有两行(列)完全相同,则 此行列式为零 证明互换相同的两行,有D=-D D=0 上页

推论 如果行列式有两行（列）完全相同，则 此行列式为零. 证明 互换相同的两行，有 D = −D  D = 0

王性质23行列式的某一行(列)中所有的元素 都乘以同—数k,等于用数k乘此行列式 11 12 n I1, 12 n k i a i2 …kan=k i1 2 n1n2 nn n2 nn 王记法第行乘以k,第列乘以k 王推论行列式的某二行(列)中所有元素的公因 子可以提到行列式符号的外面 上页

性质2-3 行列式的某一行（列）中所有的元素 都乘以同一数 k ，等于用数 k 乘此行列式. n n nn i i in n a a a ka ka ka a a a      1 2 1 2 11 12 1 n n nn i i in n a a a a a a a a a k      1 2 1 2 11 12 1 = 推论 行列式的某一行（列）中所有元素的公因 子可以提到行列式符号的外面． 记法 第s行乘以k： s kr 第s列乘以k: s kc

性质2-4行列式中如果有两行(列)元素成 A比例,则此行列式为零 证明 11 12 In 11 12 In il 2 n iI i2 k =0. a il ke i2 人a n i2 nian nI n2 上页

性质2-４ 行列式中如果有两行（列）元素成 比例，则此行列式为零． 证明 n n nn i i in i i in n a a a ka ka ka a a a a a a        1 2 1 2 1 2 11 12 1 n n nn i i in i i in n a a a a a a a a a a a a k        1 2 1 2 1 2 11 12 1 = = 0

王性质25若行列式的某一列(行)的元素都是 两数之和 12 1:+a li 例如D= 22 2 2i 2n n2 (ani +an nn I 则D等于下列两个行列式之和 li 11 In D 21 2i 2n 21 2i 2n n nI 上页

性质2-5 若行列式的某一列（行）的元素都是 两数之和. n n ni ni nn i i n i i n a a a a a a a a a a a a a a a D           ( ) ( ) ( ) 1 2 2 1 2 2 2 2 2 1 1 1 2 1 1 1 +  +  +  = 则D等于下列两个行列式之和： n ni nn i n i n n ni nn i n i n a a a a a a a a a a a a a a a a a a D                        = + 1 2 1 2 2 1 1 1 1 1 2 1 2 2 1 1 1 1 例如

王性质26把行列式的某-列(行)的各元素乘 平以同一数然后加到另一列行对应的元素上去, 中行列式不变 1 CAn 例如a…xay nI 记法数乘第行址蓟氧行上:() 21 (a,; tia 2 tkc (an+he 上页

性质2-6 把行列式的某一列（行）的各元素乘 以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去， 行列式不变． n ni nj nj i j j i j n a a a a a a a a a a a a              1 2 1 2 2 2 1 1 1 1 1 n ni nj nj nj i j j j i j j n i j a a ka a a a a ka a a a a ka a a c kc              ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 + + + + k  例如 记法 数k乘第t 行加到第s 行上： s krt r + ( ) s kct c +

2.4.2行列式计算(2) 计算行列式常用方法:利用运算+把行列式 化为上三角形行列式,从而算得行列式的值 12 3 3 33-79-5 例1D=204-21 3-57-146 4-410-102 上页

例１ 4 4 10 10 2 3 5 7 14 6 2 0 4 2 1 3 3 7 9 5 1 1 2 3 1 − − − − − − − − − − D = 2.4.2 行列式计算(2) 计算行列式常用方法：利用运算 把行列式 化为上三角形行列式，从而算得行列式的值． i j r + kr  3 