北京交通大学：《线性代数》课程教学资源（PPT课件讲稿）第2章 行列式 §2.3 n 阶行列式

§2.3n阶行列式 2.3.1m阶行列式的定义 23.2n阶行列式的计算(1) 2.3.3小结 上页

§2.3 n 阶行列式 2.3.3 小结 2.3.1 n阶行列式的定义 2.3.2 n阶行列式的计算(1)

生2.3,n阶行列式的定义 1.概念的引入 三阶行列式 12 13 D 21 a=a11 2233+a1223031+a1321 432 a31a2a3-a13123-an2132-1221 说明 (1)三阶行列式共有6项,即3!项 (2)每项都是位于不同行不同列的三个元素的 乘积 ■

1.概念的引入 三阶行列式 31 32 33 21 22 23 11 12 13 a a a a a a a a a D = 11 22 33 12 23 31 13 21 32 = a a a + a a a + a a a 13 22 31 11 23 32 12 21 33 − a a a − a a a − a a a 说明 （1）三阶行列式共有 6 项，即 3! 项． （2）每项都是位于不同行不同列的三个元素的 乘积． 2.3.1 n阶行列式的定义

3)每项的正负号都取决于位于不同行不同列 c列的三个元素的下标排列 例如 12 13~2132 列标排列的逆序数为 xn)21+1-2,偶排列+正号 1232 列标排列的逆序数为 z(32)=1+0=1,奇排列一负号, 11 12 13 ∴n1ana2=∑(-1) (P1P2P3) n22,1 aa 3 P 31 32 33 上页

（3）每项的正负号都取决于位于不同行不同列 列的三个元素的下标排列． 例如 13 21 32 a a a 列标排列的逆序数为  (312) = 1+1 = 2, 11 23 32 a a a 列标排列的逆序数为  (132) = 1+ 0 = 1, 偶排列 奇排列 + 正号 −负号, ( 1) . 1 2 3 1 2 3 1 2 3 ( ) 3 1 3 2 3 3 2 1 2 2 2 3 1 1 1 2 1 3  =  − p p p p p p a a a a a a a a a a a a 

2.n阶行列式的定义 定义由n2个数组成的n阶行列式等于所有 取自不同行不同列的n个元素的乘积 的代数和∑(-1ya1n2n…amn 11 12 记作D= 21 22 2n nI n 2 简记作det(an)数an称为行列式dta)的元素

2.n阶行列式的定义 n n nn n n p p np t a a a a a a a a a D a a a n n n n        1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 1 2 2 ( 1) . 1 2 =  − 记 作 的代数和 取自不同行不同列的 个元素的乘积 定义 由 个数组成的 阶行列式等于所有 det( ). 简记作 aij 数 aij 称为行列式det(aij)的元素．

其中p1P2…p,为自然数1,2,…,n的一个排列 Aτ为这个排列的逆序数 12 D= 2 2n n」 2 lI ∑(-1) (PiP2"Pn) I Pi2 pz Pip2:Pn 上页

为这个排列的逆序数． 其 中 为自然数 ，， ， 的一个排列，  p1 p2 pn 1 2  n ( ) ( ) n n n p p np p p p p p p n n nn n n a a a a a a a a a a a a D          1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 =  − 1 = 

上说明 1、行列式是一种特定的算式,它是根据求解方 程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而 定义的; 2、n阶行列式是n项的代数和,其中正负项各 午占一半,行列式是一个数 3、n阶行列式的每项都是位于不同行、不同 工工工 列n个元素的乘积 4、一阶行列式a=a不要与绝对值记号相混淆; 5、 IPi 2 p2 amn的符号为(- 6、上式称为n阶行列式的完全展开式 上页

说明 1、行列式是一种特定的算式，它是根据求解方 程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而 定义的; 3、 阶行列式的每项都是位于不同行、不同 列 个元素的乘积; n n 4、 一阶行列式 a = a 不要与绝对值记号相混淆; 5、 a1 p1 a2 p2 anpn 的符号为 ( 1) .  − 2、 n 阶行列式是 n! 项的代数和,其中正负项各 占一半，行列式是一个数; 6、上式称为n阶行列式的完全展开式

王 定理2-4令a1a1n…a是m阶行列式中的任一项, 出则项aan…an的符号等于(-1))= 证明由行列式定义可知,确定项 l1/1l2 (1)的符号, 牛需要把各元素的次序进行调动,使其行标成自然排列 为此,我们先来研究若交换项(1)中某两个元素的 位置时,其行标和列标排列的奇偶性如何变化 中对换任意两元素,相当于项(1)的元素行标排列及 牛列标排列同时经过一次对换 上页

定理2-4 令 n n ai j ai j ai j 1 1 2 2 是n阶行列式中的任一项， 则项 n n ai j ai j ai j 1 1 2 2 的符号等于 ( ) ( ) 1 2 1 2 ( 1) n n  i i i + j j j − 证明 由行列式定义可知，确定项 (1) 1 1 2 2 n n ai j ai j ai j 的符号， 需要把各元素的次序进行调动，使其行标成自然排列. 为此，我们先来研究若交换项（1）中某两个元素的 位置时，其行标和列标排列的奇偶性如何变化. 对换任意两元素，相当于项（1）的元素行标排列及 列标排列同时经过一次对换

设对换前行标排列的逆序数为s,列标排列的逆序数为t 上设经过一次对换后行标排列的逆序数为s 列标排列的逆序数为t 由定理,对换改变排列的奇偶性 所以,s-S是奇数 t'-t也是奇数 所以(S'-s)+(r'-t)是偶数, 即(s+t)-(s+t)是偶数, 所以S+t与S+t同时为奇数或同时为偶数 牛即,交换项(1)中任意两个元素的位置后,其行标 和列标所构成的排列的逆序数之和的奇偶性不变

设对换前行标排列的逆序数为s，列标排列的逆序数为t. 设经过一次对换后行标排列的逆序数为 s 列标排列的逆序数为 t 由定理，对换改变排列的奇偶性 所以， s − s 是奇数 t − t 也是奇数 所以 (s − s) + (t − t) 是偶数， 即 (s + t) − (s + t) 是偶数， 所以 s + t 与 s + t 同时为奇数或同时为偶数. 即，交换项（1）中任意两个元素的位置后，其行标 和列标所构成的排列的逆序数之和的奇偶性不变

广另一方面,经过若干次对换项(1)中元素的次序 总可以把项(1)变为 ., Ik1 2k2 所以(-1)=(-1)” =(-1) z(12…n)+z(k1k2…kn) =(=1 得证 上页

另一方面，经过若干次对换项（1）中元素的次序， 总可以把项（1）变为 , 1k1 2k2 nkn a a a 所以 s+t s+t (−1) = (−1) (12 ) ( ) 1 2 ( 1) n k k kn  + = − ( ) 1 2 ( 1) k k kn  = − 得证

由此,得行列式的等价定义 11 12 22 ∑(-1) 1"2J2 nn TrT 2 z(i1i2in)+z(1j2…in) = In 1/2∵Jn l1l2“ =∑(-1 a14l2",n(特别地) ii2.i 上页

由此，得行列式的等价定义 n n nn n n a a a a a a a a a        1 2 21 22 2 11 12 1 =  − n n n j j j j j nj j j j a a a    1 2 1 2 1 2 1 2 ( ) ( 1)   + = − n n n n n n i i i j j j i j i j i j i i i j j j a a a      1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 ( ) ( ) ( 1)   =  − n n n i i i i i i n i i i a a a    1 2 1 2 1 2 1 2 ( ) ( 1)  (特别地）