北京交通大学：《线性代数》课程教学资源（PPT课件讲稿）第五章 线性空间与线性变换 5.2 基、维数和坐标

52基、维数和坐标 线性空间的基、维数和坐标 二、基变换与坐标变换 上页

5.2 基、维数和坐标 • 二、基变换与坐标变换 • 一、线性空间的基、维数和坐标

线性空间的基、维数和坐标 中定义1在数域P上的线性空间中,考虑向量组 1929 若存在不全为0的数k1,k2,…,k,满足 k1a1+k22+…+k,as=0 工工工 则称向量组a1,a2,,C线性相关 否则称为线性无关 上页

一、线性空间的基、维数和坐标 定义１ 在数域P上的线性空间V中，考虑向量组    s , , , 1 2  若存在不全为0的数 , , , , k1 k2  ks 则称向量组 k11 + k2 2 ++ ks s = 0 满足：    s , , , 1 2  线性相关； 否则称为线性无关

向量空间中关于向量组的线性相关与线性 无关的有关结论,在线性空间也成立例如 定理1在线性空间V中向量组a1,a2,…,an线性无 关,而向量组ax1,…,an,B线性相关,则向量B必能由 向量组ax1,…,an线性表示,且表示法唯 已知:在R中,线性无关的向量组最多由n 牛个向量组成,而任意7+1个向量都是线性相关的 问题:线性空间的一个重要特征—在线性空 间V中,最多能有多少线性无关的向量? 上页

, , , . , , , , , 1 V , , , , 1 1 1 2 向量组 线性表示 且表示法唯一 关 而向量组 线性相关 则向量 必能由 定理 在线性空间 中向量组 线性无 m m m             向量空间中关于向量组的线性相关与线性 无关的有关结论,在线性空间也成立.例如 已知：在 中，线性无关的向量组最多由 个向量组成，而任意 个向量都是线性相关的． R n n n + 1 问题：线性空间的一个重要特征——在线性空 间 V 中，最多能有多少线性无关的向量？

定义2在线性空间中,如果存在n个向量 aC 庄满足 290n 王0a1,a,…a线性无关 王(2)中任一向量a总可由a,a,线性 表示 那末,ax1,a2…,an就称为线性空间v的一个 王基m称为线性空间的维数 注零空间没有基,规定其维数为0. 上页

(1) , , , ; 1 2  n线性无关 , . , , , , 1 2 基 称为线性空间 的维 数 那末 就称为线性空间 的一个 n V     n V , (2) , , , 1 2 表示 V中任一向量总可由   n线性 定义2 在线性空间 中，如果存在 n 个向量    n , , , 1 2  满足： V 注 零空间没有基,规定其维数为0

维数为n的线性空间称为n维线性空间记作l n 当一个线性空间V中存在任意多个线性无关 的向量时,就称V是无限维的 若an1,a2…,an为V的一个基则Vn可表示为 王V==xa1+xa2+…+x以x1,,,x∈R 上页

, . 维数为n的线性空间称为n 维线性空间 记作Vn 若1 , 2 ,  , n为Vn的一个基,则Vn可表示为 Vn =  = x11 + x22 ++ xnn x1 , x2 ,  , xn  R 当一个线性空间 中存在任意多个线性无关 的向量时，就称 是无限维的． V V

上例1在线性空间P中,;=(0,0)E2=(0, &n (0,0,…,1就是它的一个基称为自然基或标 准基,且dimP"=n. 例2在线性空间中p=1,2=xP=x2 牛P.=x”航是它的一个基且dmP=B 上页

( ) ( ) ( ) dim . , 0,0, ,1 , , 1,0, ,0 , 0,1, ,0 , 1 2 P n P n n n = = = = 准基，且 就是它的一个基 称为自然基或标 在线性空间 中      例 1   , dim [ ] . [ ] , 1, , , , 1 2 1 2 3 P x n P x x n n n n p x p p p x = = = = = − 就是它的一个基 且 例 2 在线性空间 中 

例3在线性空间P中,令 0 0 E 0 1…0←第i : 0 第例列 Enm就是它的一个基且dmPm=mxn 上页

第 行 第 列 i j Eij                   = 0 0 0 0 1 0 0 0 0             例3 在线性空间P mn中,令   , dim . 1, , E 1, , P m n m n j n ij i m =   = 则 = 就是它的一个基 且  

定义3设a1,a2,…,a是线性空间v的一个基对 于任一元素a∈Vn,总有且仅有一组有序 数 x1X2,…yn 使 c=X1C1+x202+…+n2Cn 有序数组x,x2,…,x称为元素a在ax1,a2,…,an这个 工工工 基下的坐标,并记作a=(x1,x2,…,xn) 上页

,  = x11 + x2 2 ++ xn n , ( , , , ) . , , , , , , 1 2 1 2 1 2 n T n n x x x x x x     =     基下的坐标 并记作 有序数组 称为元素 在 这 个 数 使 于任一元素 总有且仅有一组有序 设 是线性空间 的一个基 对 , , , , , , , , , 1 2 1 2 n n n n x x x V V     定义 3   

2 例4在线性空间Px中,p1=1,P2=x,P3=x 4 x,P5=x就是它的一个基 任一小于5次的多项式 p=ax tax tax +arxtao 可表示为 P=aoP+a2 P3+ a3 P4+a4 p5 因此p在这个基下的坐标为 01,2394 上页

, . [ ] , 1, , , 4 5 3 4 2 1 2 3 5 就是它的一个基 在线性空间 中 x p x P x p p x p x p = = 例 4 = = = p a x a x a x a1 x a0 2 2 3 3 4 4 5 = + + + + 任一小于 次的多项式 p a p a p a p a p a p 0 1 1 2 2 3 3 4 4 5 = + + + + 可表示为 ( , , , , ) a0 a1 a2 a3 a4 p T 因此 在这个基下的坐标为

若取另一基q1=1,q2=1+x,q3=2x2,q4=x, Aqs=x:,则 P=(aoa1)1+a142+,a243+a3q4+a4q5 A因此尸在这个基下的坐标为 T (a0-a1,a1,a2,a3,a4 工工工 2 注意线性空间的任一元素在不同的基下所对的 坐标一般不同,一个元素在一个基下对应的坐标是 唯一的. 上页

注意 则 若取另一基 , 1, 1 , 2 , , 4 5 3 4 2 1 2 3 q x q q x q x q x = = = + = = p a a q a q a q a q a q 0 1 1 1 2 2 3 3 4 4 5 2 1 = ( − ) + + + + , , ) 2 1 ( , , a0 a1 a1 a2 a3 a4 p T − 因此 在这个基下的坐标为 线性空间 的任一元素在不同的基下所对的 坐标一般不同，一个元素在一个基下对应的坐标是 唯一的． V