北京交通大学：《线性代数》课程教学资源（PPT课件讲稿）第七章 空间曲面与曲线 7.1 曲面及其方程

生第7章空间曲面与曲线 ●72二次曲面 牛●73空间曲线 工工工 ●总复习 上页

第7章 空间曲面与曲线 7.1 曲面及其方程 7.2 二次曲面 7.3 空间曲线 总复习

7.1面及其方程 生9711曲面和曲线的一般方程 712球面方程 牛73柱面 王Q74锥面 牛715旋转曲面 小结思考题 上页

7.1 曲面及其方程 7.1.1 曲面和曲线的一般方程 7.1.2 球面方程 7.1.3 柱面 7.1.4 锥面 7.1.5 旋转曲面 小结 思考题

王7曲面和曲线的一般方程 曲面的实例:水桶的表面、台灯的罩子面等 曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹 曲面方程的定义: 中如果曲面S与三元方程F(x,y,x)=0有下述关系: 工工工 (1)曲面S上任一点的坐标都满足方程; (2)不在曲面S上的点的坐标都不满足方程; 上那么,方程F(x,y,z)=0就叫做曲面S的方程 而曲面S就叫做方程的图形 上页

水桶的表面、台灯的罩子面等． 曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹． 曲面方程的定义： 如果曲面S 与三元方程F(x, y,z) = 0有下述关系： （1）曲面 S 上任一点的坐标都满足方程； （2）不在曲面S 上的点的坐标都不满足方程； 那么，方程F(x, y,z) = 0就叫做曲面S 的方程， 而曲面S 就叫做方程的图形． 曲面的实例： 7.1.1 曲面和曲线的一般方程

空间曲线C可看作空间两曲面的交线 ∫F(x,,z)=0 G(x,y,x)=0 空间曲线的一般方程 S 特点:曲线上的点都满足 方程,满足方程的点都在 0 曲线上,不在曲线上的点x 不能同时满足两个方程 上页

   = = ( , , ) 0 ( , , ) 0 G x y z F x y z 空间曲线的一般方程 曲线上的点都满足 方程，满足方程的点都在 曲线上，不在曲线上的点 不能同时满足两个方程. x o z y S1 S2 C 空间曲线C可看作空间两曲面的交线. 特点：

庄例1在直角坐标系下,已知两点423 中B(2,-1,4),求线段AB的垂直平分面的方程 解设M(x,,z)是所求平面上任一点, 根据题意有|M4|=MB (x-1)+(y-2)+(z-3 =(x-2)2+(y+1)2+(z-4), 化简得所求方程2x-6y+2x-7=0 上页

例 1 在直角坐标系下，已知两点A(1,2,3)， B(2,−1,4)，求线段AB的垂直平分面的方程. 设M(x, y,z)是所求平面上任一点， 根据题意有 | MA|=| MB |, ( ) ( ) ( ) 2 2 2 x −1 + y − 2 + z − 3 ( 2) ( 1) ( 4) , 2 2 2 = x − + y + + z − 化简得所求方程 2x − 6y + 2z − 7 = 0. 解

牛712球面方程 例1建立球心在点M0(x0,y,z0)、半径为 R的球面方程 解设M(x,y,z)是球面上任一点, 根据题意有|MM|=R (x-x0)2+(0-n)2+(z-0)=R[标准方程 王所求方程为(x-x)+(U-)+(-x)=R2 特殊地:球心在原点时方程为x2+y2+z=R2 上页

例 1 建立球心在点 ( , , ) 0 0 0 0 M x y z 、半径为 R的球面方程. 解 设M(x, y,z)是球面上任一点， 根据题意有 | MM0 |= R (x − x ) + ( y − y ) + (z − z ) = R 2 0 2 0 2 0 ( ) ( ) ( ) 2 2 0 2 0 2 所求方程为 x − x0 + y − y + z − z = R 特殊地：球心在原点时方程为 2 2 2 2 x + y + z = R 7.1.2 球面方程 标准方程

王反之,给定三元二次方程 2 e +y+z+ax+by+Cz+d=0 方程可化为 b +(z+C)2 a2+b2+c2-4d (x+)2+(y+ 2 2 4 上(1)当a2+b2+c2-4d>0时,此方程表示一个球面 (2)当a2+b2+c2-4d=0时,此方程表示一个点 3)当a2+b2+c2-4d<O时,此方程表示一个虚球面 牛综上可得书中定理71 上页

反之，给定三元二次方程 2 2 2 x y z ax by cz d + + + + + + = 0 方程可化为 2 2 2 2 2 2 4 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 4 a b c a b c d x y z + + − + + + + + = 2 2 2 (1) 4 0 当a b c d + + −  时，此方程表示一个球面； 2 2 2 (2) 4 0 当a b c d + + − = 时，此方程表示一个点； 2 2 2 (3) 4 0 当a b c d + + −  时，此方程表示一个虚球面。 综上可得书中 定理7-1

下面给出球面的参数方程 考虑以原点为球心,r为 P 半径的球面。由球面上 2 φLB 点P(x,y,=)作PN与xOy平面 c垂直,再作NA和NB分别与 庄轴和轴垂直。设∠ON=,∠NOP=n则 x=04=ONc9=r890s<2z y=OB=ON sine =rcos p sing,Z < z=NP=OPsin o=rsin 2 2 上页

( , , ) r P x y z PN xoy NA NB x y AON NOP  =  =   考虑以原点为球心， 为 半径的球面。由球面上一 点 作 与 平面 垂直，再作 和 分别与 轴和 轴垂直。设 ， 。则 下面给出球面的参数方程： P x y z o N  r • •  A B cos cos cos , 0 2 sin cos sin , sin sin . 2 2 x OA ON r y OB ON r z NP OP r               = = =         = = =   −     = = =  

王同理,可求得以(x,yn2)为球心的 球面参数方程为 x=xo train cos 6 y=yo +rsin gsin 8, Z=Zo + r CoS p 王向量形式的方程为 牛7=6+m(,9) 上页

0 0 0 sin cos , sin sin , cos . x x r y y r z z r       = +   = +   = + 0 0 0 0 同理，可求得以P x y z ( , , )为球心的 球面参数方程为 0 r r rn = + ( , )   向量形式的方程为

例2求与原点O及M0(2,3,4)的距离之比为:2的 点的全体所组成的曲面方程 解设M(x,y,z)是曲面上任一点, 根据题意有 1Mo|1 MM0|2 x t ytz (x-2)2+(y-3)2+(z-4)22 所求力方程为(x3)+(+)++9-1 王页下

例 2 求与原点O及 (2,3,4) M0 的距离之比为1: 2 的 点的全体所组成的曲面方程. 解 设M(x, y,z)是曲面上任一点， , 2 1 | | | | 0 = MM MO 根据题意有 ( ) ( ) ( ) , 2 1 2 3 4 2 2 2 2 2 2 = − + − + − + + x y z x y z ( ) . 9 116 3 4 1 3 2 2 2 2  =       + + + +      所求方程为 x + y z