北京交通大学：《线性代数》课程教学资源（PPT课件讲稿）第三章 矩阵 3.1 高斯消元法及矩阵表示

第3章矩阵 上3.1高斯消元法及矩阵表示 3.1.1高斯消元法及矩阵表示 3.1.2矩阵表示 3.1.3一般情形 上页

第 3 章 矩 阵 3.1 高斯消元法及矩阵表示 3.1.1 高斯消元法及矩阵表示 3.1.2 矩阵表示 3.1.3 一般情形

王3:1高斯消元法 分析:用消元法解下列方程组的过程 引例求解线性方程组 2x, n-c, fx 2 4 =2. x1+x2-2x3+x4=4,② 4x1-6x2+2x3-2x4=4,③÷2 3x1+6x2-9x3+7x4=9,④ 上页

引例 (1) 3.1.1 高斯消元法 求解线性方程组        + − + = − + − = + − + = − − + = 3 6 9 7 9, 4 6 2 2 4, 2 4, 2 2, 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 x x x x x x x x x x x x x x x x 1 3 4 2 分析：用消元法解下列方程组的过程．  2

解 关1+x2x3+4=4,① ①台②2 2x 273+x 2 4三 ③÷2 2x1-3x2+x3-x4=2, 3x1+6x,-9x2+7x4=9,④ x,+x2-2x3+x4=4,① 3 ③-2① 2x22+2Ax4=0 ④-30|-5x2+5x3-3x1=-6,③ 3x2-3x3+4x4=-3,④ 上页

解 (1)   2 1 3 2        + − + = − + − = − − + = + − + = 3 6 9 7 9, 2 3 2, 2 2, 2 4, 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 x x x x x x x x x x x x x x x x 1 3 4 2 − 2 1 2 − 3 3 4 − 3 1        − + = − − + − = − − + = + − + = 3 3 4 3, 5 5 3 6, 2 2 2 0, 2 4, 2 3 4 2 3 4 2 3 4 1 2 3 4 x x x x x x x x x x x x x 1 3 4 2

1x+x2-2x3+x1=4, ② 2 x3+x4=0, ③+52 2x4=-6, ④-3② x,=-3 「x1+x2-2x3+x=4,① ③>④ x2-x3+x4=0, ④-2 =-3. 0=0 ④ 用“回代”的方法求出解: 上页

       = − = − − + = + − + = 3, 2 6, 0, 2 4, 4 4 2 3 4 1 2 3 4 x x x x x x x x x 1 3 4 2 + 5 2 2 1  3 4 − 3 2 2        = = − − + = + − + = 0 0, 3, 0, 2 4, 4 2 3 4 1 2 3 4 x x x x x x x x 1 3 4 3  2 4 − 2 4 3 用“回代”的方法求出解：

x1=x3+4 c于是解得{x2=x3+3其中x为任意取值 4 3 或令x2=C,方程组的解可记作 x1=c+4 x2=C+3 其中c为任意常数 X3=C x,=-3 上页

于是解得      = − = + = + 3 3 4 4 2 3 1 3 x x x x x . 其中x3为任意取值 或令x3 = c,方程组的解可记作        = − = = + = + 3 3 4 4 3 2 1 x x c x c x c 其 中c为任意常数

王 小结: 1.上述解方程组的方法称为消元 王紫始终把方程组看作一个整体变形,用到如 下三种变换 (1)交换方程次序; (与⑦相互替换) (2)以不等于0的数乘某个方程; (以⑦×k替换⑦) 王(3)-个方程加上另一个方程的倍 (以⑦+k①替换⑦) 称以上三种变换为线性方程组的初等变换 王页下

小结： 1．上述解方程组的方法称为消元 法2．始终把方程组看作一个整体变形，用到如 ． 下三种变换 （1）交换方程次序； （2）以不等于０的数乘某个方程； （3）一个方程加上另一个方程的k倍． （ i 与 j 相互替换） （以 i  k 替换 i ） （以 i + k j 替换 i ） 称以上三种变换为线性方程组的初等变换

王3.1.2矩阵表示 aux,+au2x2 +.+anxn=b 线性方程组 X,+ 21~1 x+…+a 22~2 ann = 2 a…x1+ax =b m1 2 2 n 的解取决于系 数an(=12,…,m,j=12,…;n) 常数项b(=12,…,m) 上页

       + + + = + + + = + + + = m m mn n m n n n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b     1 1 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 线性方程组 的解取决于 a (i 1,2, ,m; j 1,2, ,n), 系数 i j =  =  b (i m) i 常数项 =1,2,  , 3.1.2 矩阵表示

aua 12 n 2 称为上述方程 组的系数矩阵 m2 m1 11 12 n :b, b A=A,b1=112 n 称为上述方程 组的增广矩阵 mI m2 牛方程组与其增广矩阵一一对应 上页

              = m m mn n n a a a a a a a a a A       1 2 21 22 2 11 12 1 称为上述方程 组的系数矩阵               = = m m mn n n n b b b a a a a a a a a a A A b            2 1 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 [ , ] ~ 称为上述方程 组的增广矩阵 方程组与其增广矩阵一 一对应

定义下面三种变换称为矩阵的初等行变换: 上()对调两行(对调两行记作心); (2)以数k≠0乘以某一行的所有元素 (第i行乘k,记作rXk) (3)把某一行所有元素的k倍加到另一行 对应的元素上去(第行的k倍加到第i行上 记作r+r 上页

定义 下面三种变换称为矩阵的初等行变换: (1)对调两行（对调i, j两行,记作ri  rj）； (2)以 数 k  0 乘以某一行的所有元素; （第 i 行乘 k,记作 ri  k） ( ) . 3 记 作 ） 对应的元素上去（第 行 的 倍加到第 行 上 把某一行所有元素的 倍加到另一行 i krj r j k i k +

用矩阵的初等行变换解方程组(1) 2-1-112 214 11-21-414h2|2-1-112 4=4-62-243÷22-31-12 36-97 36-97 乃3 214)n÷2(11-21 2n02-220|-501-11 n-30-55-3-6 r4-3z0002-6 03-34-3 0001-3 上页

用矩阵的初等行变换 解方程组（1）：               − − − − − − − = 3 6 9 7 9 4 6 2 2 4 1 1 2 1 4 2 1 1 1 2 ~ A               − − − − − − 3 6 9 7 9 2 3 1 1 2 2 1 1 1 2 1 1 2 1 4 1 2 r  r r3  2               − − − − − − − 0 3 3 4 3 0 5 5 3 6 0 2 2 2 0 1 1 2 1 4 3 1 2 3 r 2r r r − − 4 3 1 r − r               − − − − 0 0 0 1 3 0 0 0 2 6 0 1 1 1 0 1 1 2 1 4 3 2 2 5 2 r r r −  4 3 2 r − r