北京交通大学：《线性代数》课程教学资源（PPT课件讲稿）第八章 二次型 8.5 二次曲面的分类

第8章二次型 ●81二次型及其矩阵表示 ●82二次型的标准形 ●8.3惯性定理和规范形 庄·.4实二次型的正定性 压84三曲面的分类 上页

第8章 二次型 8.1 二次型及其矩阵表示 8.2 二次型的标准形 8.3 惯性定理和规范形 8.4 实二次型的正定性 8.5 二次曲面的分类 总结 习题课

2元实二次型替换 正交「标准形 f=x' ax f=41y2+2y2 坐标系 有心二次曲线旋转在新坐标系 x Ax=1 A12+21y2=1 上页

2 2 1 1 2 2 f y y = +   标准形 T f x Ax = 2元实二次型 1 T x Ax = 有心二次曲线 2 2 1 1 2 2   y y + = 1 在新坐标系 下 正交 替换 坐标系 旋转

3元实二次型正交标准形 f T 替换 =x Ax ∫=412+2y2+3y3 有心二次曲线坐标 在新坐标系下 x Ax=1 转 A1y12+A2y2+A332=1 上页

222 1 1 2 2 3 3 f y y y = + +    标准形 T f x Ax = 3元实二次型 1 T x Ax = 有心二次曲线 222    1 1 2 2 3 3 y y y + + = 1 在新坐标系下 正交 替换 坐标系 旋转

王 王注(1)2、3元二次型的正交线性替换相当于 平面、空间的直角坐标系旋转; 王(2)二次型化为标准形后,相当于曲线、曲面 方程中消去了交叉项 (3)以上意味着曲线、曲面的主轴(对称轴) 牛与新坐标轴重合 上页

注（1）2、3元二次型的正交线性替换相当于 平面、空间的直角坐标系旋转； （2）二次型化为标准形后，相当于曲线、曲面 方程中消去了交叉项； （3）以上意味着曲线、曲面的主轴（对称轴） 与新坐标轴重合

王 作旋转变换消去交叉项 王令f(x,x2,x)=a1x2+a2x2+a3x3 +2a12x1x2+2a13x1x3+223x2x3 +b,x,+b2x2+b3x3+c 有(x,x2,)=0表示二次曲面 J1 12 13 令X=x2,Y=y 21 22 23 3 y3 31 32 33 圆回 上页

1 2 3 有f x x x ( , , ) 0 = 表示二次曲面 ( ) 222 1 2 3 11 1 22 2 33 3 12 1 2 13 1 3 23 2 3 1 1 2 2 3 3 , , 222 f x x x a x a x a x a x x a x x a x x b x b x b x c = + + +++ +++ 令 + 1 1 11 12 13 2 2 21 22 23 3 3 31 32 33 x y a a a X x Y y A a a a x y a a a                               令 = ， = ， = 一、作旋转变换消去交叉项

王→f=X7AX+bx+c 11 在正交替X=TY下,如果TAT-2 王br=(n,b2,23)二次曲面方程化 工工工 王+2n+3+by+b22+b J3+C=0 上页

T T  = + + f X AX b X c1 2 3 AT= T X TY T        = =        在正交替 下，如果 1 2 3 ( , , ) T b T b b b =  ，二次曲面方程化 222 1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3    y y y b y b y b y c + + + + + = +    0

以上相当于作旋转变换消去了交叉项, 生使得曲线的主轴平行与新坐标轴:再用配方法 、作用配方法作平移变换 中L.当r(A)=3时,因为423≠0 作平移变换 1=y1+ ,十 z3=y3+ 21 92 2 2 23

以上相当于作旋转变换消去了交叉项， 使得曲线的主轴平行与新坐标轴；再用配方法 作平移变换使得曲线的主轴与新坐标重合。 二、作用配方法作平移变换 1 2 3 I. 当r(A)=3时，因为     0 作平移变换 1 2 3 1 1 2 2 3 3 1 2 3 , , 2 2 2 b b b z y z y z y       = + = + = +

王二次曲面方程化为 王x2+2动+几=d① (1)如果,2,A3d同号,椭球面 2 2 十 c 1 2 b 2 (2)如果不,几2,A3同号,d=0,退化为一点 x2 y2 z 十 0 2 2 b 2C 上页

二次曲面方程化为 222 1 1 2 2 3 3    z z z d + + = （1） 1 2 3 （1）如果    ， ， ，d 同号，椭球面 2 2 2 2 2 2 1 x y z a b c + + = （2）如果    1 2 3 ， ， 同号，d=0，退化为一点 2 2 2 2 2 2 0 x y z a b c + + =

(3)如果,气2,A3同号,但与d异号,虚椭球面 2 2 2 ++=-1 a2 b2 2C (4)如果,2,3两正一负,且d>0 或,2,3两负一正,且d<0单叶双曲面 x2 2 d、 2 =1 上页

（3）如果    1 2 3 ， ， 同号，但与d异号，虚椭球面 2 2 2 2 2 2 1 x y z a b c + + = − 2 2 2 2 2 2 1 x y z a b c + − = （4）如果    1 2 3 ， ， 两正一负，且 ； 或 两负一正，且 单叶双曲面    1 2 3 ， ， d  0 d  0

上()如果λ42,13两正一负,且d0双叶双曲面 2 小、 2 =-1 a2 c2 牛(6)如果,4,4有正有负,且d,二次锥可 2 2 =0 2 b c 上页

（6）如果    1 2 3 ， ， 有正有负，且d=0，二次锥面 2 2 2 2 2 2 0 x y z a b c + − = 2 2 2 2 2 2 1 x y z a b c + − = − （5）如果    1 2 3 ， ， 两正一负，且 ； 或 两负一正，且 双叶双曲面    1 2 3 ， ， d  0 d  0