北京交通大学：《线性代数》课程教学资源（PPT课件讲稿）第三章 矩阵 3.4 方阵的逆矩阵

3.4方阵的逆矩阵 34.1方阵的行列式 3.4.2可逆矩阵及其性质 34.3矩阵可逆的条件 上页

3.4 方阵的逆矩阵 3.4.1 方阵的行列式 3.4.2 可逆矩阵及其性质 3.4.3 矩阵可逆的条件

王34方的行列式 定义由n阶方阵A的元素所构成的行列式, 王叫做方阵A的行列式,记作A或dA 23 23 例A 则A= 68 =-2 68 运算性质()4=42)=k"A (3)AB=4B;→AB=BA 上页

定义 由 阶方阵 的元素所构成的行列式， 叫做方阵 的行列式，记作 或 n A A A det A.       = 6 8 2 3 例 A 6 8 2 3 则 A = = −2. 运算性质 (1) A A; T = (2) kA k A; n = (3) AB = A B;  AB = BA. 3.4.1 方的行列式

证明 0 C A 0 nn E B nn n=/ D E 0 2n A Cr, +r +(1) E O A C 生2-EK=C=团 上页

证明: n n n n n n n n n b b b b a a a a D          1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 − − = 0 E B A − = 0 D2n = A B 0 2 E A C D n − = j j n r r  + ( ) A C n E 0 1 − − D ( ) E C C AB n 2n = −1 − = =

王定义行列式A的各个元素的代数余子式4所 构成的如下矩阵 21 A= 12 22 称为矩阵A 的伴随矩阵 Am Az nn 上页

定义 行列式 的各个元素的代数余子式 所 构成的如下矩阵 A Aij               =  n n nn n n A A A A A A A A A A        1 2 12 22 2 11 21 1 称为矩阵 的伴随矩阵. A

例:试证:A=AA=|AE n 1 A=: nI A1 nn AA AE=A'A 上页

例： = A A= AE * * 试证: AA           =           = n nn n n nn n A A A A A a a a a A         1 1 1 1 * 1 1 1 1               = A A A AA  * = AE A A * =

生342可逆矩阵及其性质 在数的运算中,当数≠0时,有 aa =a= 生其中-2为n的倒数或称矿的逆) 在矩阵的运算中,单位阵E相当于数的乘法运算中 的1,那么,对于矩阵A,如果存在一个矩阵A4 使得A4=AA=E, 则矩阵A称为A的可逆矩阵或逆阵 上页

1, 1 1 = = − − aa a a , 1 1 AA = A A = E − − 则矩阵 称为 A 的可逆矩阵或逆阵. −1 A 在数的运算中，当数 a  0 时，有 a a 1 1 = 其中 − 为 a 的倒数，（或称 a 的逆）； 在矩阵的运算中，单位阵 E 相当于数的乘法运算中 的1， 那么，对于矩阵 A ， −1 如果存在一个矩阵 A , 使得 3.4.2 可逆矩阵及其性质

定义对于n阶矩阵A,如果有一个n阶矩阵B ,使得 AB=BA=E, 则说矩阵是可逆的,并把矩阵B称为A的逆矩阵 A的逆矩阵记作A. 设4(+(“121 4:AB=BA=E,B是4的一个逆矩阵 上页

定义 对于 阶矩阵 ，如果有一个 阶矩阵 则说矩阵 是可逆的，并把矩阵 称为 的逆矩阵. n A B AB = BA = E, B A n A ,使得 . −1 A的逆矩阵记作A 例 设 , 1 2 1 2 1 2 1 2 , 1 1 1 1       −  =      − A = B  AB = BA = E, B是A的一个逆矩阵

说明若A是可逆矩阵,则A的逆矩阵是唯一的 王若设B和C是A的可逆矩阵,则有 AB= BA=E. AC=CA=E 可得B=EB=(CA)B=C(AB)=CE=C. 所以A的逆矩阵是唯一的,即 B=C=A-1. 上页

说明 若 A 是可逆矩阵，则 A 的逆矩阵是唯一的. 若设 B 和 C 是 A 的可逆矩阵，则有 AB = BA = E, AC = CA = E, 可得 B = EB = (CA)B = C(AB) = CE = C. 所以 A 的逆矩阵是唯一的,即 . −1 B = C = A

21 例设A= 10 求A的逆阵. 王解谢用龙系数法是4的逆矩阵 则 AB= 21 ab)(1 0人cd丿(0 工工 2a+c2b+d)(10 b 01 上页

例 设 , 1 0 2 1       − A = 求A的逆阵. 解 设  是 的逆矩阵,      = c d a b B A 则             − = c d a b AB 1 0 2 1       = 0 1 1 0        =      − − + +  0 1 2 2 1 0 a b a c b d 利用待定系数法

→ a=0,/( 2a+c=1 2b+d=0, C= b=1, d=2 又因为 AB BA 2101_(0-1Y/2 10 10八12)(12人-10)7(0 0-1 所以 A-= 12 上页

       − = − = + = + =  1, 0, 2 0, 2 1, b a b d a c        = = = − =  2. 1, 1, 0, d c b a 又因为       − 1 0 2 1       − 1 2 0 1       − 1 0 2 1 =       − 1 2 0 1 , 0 1 1 0       = 所以 . 1 2 0 1 1       − = − A AB BA